Funciones Compuestas y Funciones definidas a Trozos
Función Compuesta
Es aquella función formada por la composición de otras dos funciones. Se puede decir que se trata de la función de una función.
“¡¿Como?!”
No te preocupes, vamos a la explicación. Tenemos una función \(f\) que asocia un valor \(x\) a una imagen \(y\):
\[y=f(x)\]
Y, por otro lado, tenemos una función \(g\) que asocia el valor \(y\) a una imagen \(w\):
\[w=g(y)\]
El resto es simple, solo tenemos que sustituir el valor de \(y\) dentro de la imagen…
\[w=g(f(x))\]
Denotamos esa función compuesta como “\(g\) de \(f\) de \(x\))” por \(g(f(x))\) o también, como:
\[w=g \circ f(x)\]
No confundas \(\circ\) con producto, la notación anterior se lee como “\(g\) de \(f\) de \(x\))” o “\(g\) compuesta con \(f\)”.
El orden de la operación también es importante, pues:
\[g \circ f(x)=g(f(x))\]
Y:
\[f \circ g(x)=f(g(x))\]
De la misma manera, sea \(f(x)=2 x\) y \(g(x)=x^{2}\), vamos a calcular \(h(x)=g \circ f(x)\).
Ten en cuenta que para obtener \(g \circ f(x)\), primero tomamos \(f(x)\) para luego aplicarlo dentro de \(g\).
\[h(x)=g(f(x))\]
\[h(x)=g(2 x)\]
Basta con sustituir \(x\) en \(g(x)\) por \(2x\), que es el argumento de la función:
\[h(x)=(2 x)^{2}\]
\[h(x)=4 x^{2}\]
También podemos crear una función compuesta aplicando otra directamente en el argumento de la función. Como, por ejemplo, para:
\[f(x)=x^{2}\]
Si quisiéramos determinar \(f(1/x)\),solo tenemos que sustituir \(x\) por \(1/x\) en la expresión:
\[f\left(\frac{1}{x}\right)=\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}\]
Funciones definidas a Trozos
Son aquellas definidas por \(2\) o más expresiones, como en el siguiente ejemplo:
\[f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x & x \leq 1 \\ x^{2} & x>1\end{array}\right.\]
Eso significa que la función tiene expresión:
\[f(x)=x\]
Para todo \(x \leq 1\), lo que implica en el gráfico:
Que es el gráfico de la recta \(f(x)=x\), pero parando en \(x=1\). Pues la expresión solo es válida para valores menores o iguales a \(1(x \leq 1)\).
Para valores mayores que \(x>1\), la función asume la expresión:
\[f(x)=x^{2}\]
Juntando los dos gráficos tendríamos:
El gráfico en rojo es el gráfico de la parábola \(f(x)=x^{2}\) que comienza a partir de \(x>1\).
Lo que hicimos es exactamente lo que dice la función dada al principio.
No existe la necesidad de que dos o más gráficos de una función definida a trozos estén conectados, puede ocurrir un salto en la intersección de las expresiones.
La función:
\[g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x & x<1 \\ e^{x} & x \geq 1\end{array}\right.\]
Tiene el siguiente gráfico:
Como puedes apreciar tenemos un salto, las dos expresiones no están conectadas. No es un error de trazado, muchas funciones son iguales.
Trazo de funciones definidas a trozos
Con respecto a este tema, trazar una función definida a trozos no es distinto a lo que hemos visto hasta ahora. Para la función:
\[h(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-2 x+1 & x \geq 2 \\ 5 x+1 & x<2\end{array}\right.\]
Podemos graficar haciendo el trazo de cada expresión individualmente. Para \(x^{2}-2 x+1\), a través de Bhaskara obtenemos las raíces:
\[x_{1}=x_{2}=1\]
Como el coeficiente del término cuadrático es mayor que cero, la función es cóncava hacia arriba. Eso resultará en el gráfico:
Para la segunda expresión, que es \(5 x+1\), tenemos un recta que corta al eje \(x\) en:
\[5 x+1=0 \Longrightarrow x=-\frac{1}{5}\]
Y al eje \(y\) en:
\[y=5 \cdot 0+1=1\]
Generando un gráfico (en rojo):
Con las dos curvas trazadas, podemos limitar el gráfico de acuerdo con los intervalos de cada expresión. La parábola, es la expresión de \(h(x)\) para \(x \geq 2\), punteando los demás puntos:
Siguiendo la misma lógica para la recta:
Por último, eliminamos la parte punteada:
Y prácticamente eso es todo.
Dominio e Imagen de las Funciones definidas a trozos
No tiene mucho misterio en relación al dominio de las funciones definidas. Será necesario verificar el dominio en cada una de las expresiones, asimismo verificar si existen restricciones dentro del intervalo de cada expresión.
Hasta ahora hemos visto funciones las cuales, en sus expresiones tenían rectas, parábolas y exponenciales. Estas expresiones siempre tienen dominio en los número reales, por lo tanto, las funciones definidas a trozos también tendrán el mismo dominio:
\[D(f)=D(g)=D(h)=\mathbb{R}\]
Para otras expresiones con restricciones, como las expresiones con funciones racionales, por ejemplo, es necesario verificar si la restricción en el dominio está dentro del intervalo propuesto de la región. La función:
\[k(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x+2}{x-1} & x \leq 0 \\ 5 & x>0\end{array}\right.\]
Tiene, en la primera expresión, un punto de singularidad en \(x=1\), con todos los demás puntos perteneciendo al conjunto de los números reales.
Sin embargo, ese punto no entra en la restricción del dominio, pues esa expresión solo es válida para \(x \leq 0\), para \(x>0\), quien manda es la constante \(5\), que, en \(x=1\) no tiene problema alguno.
De esa manera:
\[D(k)=\mathbb{R}\]
Pero, si los intervalos fuesen:
\[k_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x+2}{x-1} & x \leq 2 \\ 5 & x>2\end{array}\right.\]
El punto \(x=1\) tendría como expresión la primera, y por tanto, debería ser excluida de la restricción en el dominio:
\[D\left(k_{2}\right)=\mathbb{R}-\{1\}\]
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