Ecuación exponencial y logarítmica
Exponentes y Raíces
Antes de hablar de ecuaciones exponenciales, veremos que el exponente es una manera de representar una multiplicación repetida. Es una forma de ahorrar esfuerzo. En lugar de escribir:
\[3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\]
Podemos escribir:
\[3^{4}\]
Eso quiere decir que el \(3\) está siendo multiplicado cuatro veces.
A partir de la definición, tenemos las siguiente propiedades:
\[n^{0}=1\]
\[n^{-x}=\frac{1}{n^{x}}\]
\[n^{x} \cdot n^{y}=n^{x+y}\]
\[\frac{n^{x}}{n^{y}}=n^{x-y}\]
\[\left(n^{x}\right)^{y}=n^{x y}\]
\[\sqrt[y]{n^{x}}=n^{x / y}\]
Por esta última fórmula, podemos saber que las raíces son casos particulares de exponentes. Por ejemplo, la raíz cuadrada:
\[\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\]
Otro ejemplo es la raíz cúbica:
\[\sqrt[3]{7^{2}}=7^{2 / 3}\]
O también:
\[\sqrt[x]{4}=4^{\frac{1}{x}}\]
Ecuaciones Exponenciales
El truco de estas preguntas siempre es el mismo: todo debe tener la misma base. Por ejemplo, resuelva:
\[3^{x+1}=9\]
Que todo tenga la misma base significa que, o todas las bases serán \(9\), o todas serán \(3\). Tu decides. En esta oportunidad escogeremos el \(3\). Como tenemos que:
\[9=3^{2}\]
Listo, todo tiene la misma base:
\[3^{x+1}=3^{2}\]
Podemos “cortar” la base e igualar los exponentes, que no es más que pensar que un número elevado a otro tiene que ser igual a un número elevado al mismo.
\[x+1=2\]
\[x=1\]
¡Resuelto! Si quisiéramos que las bases fueran \(9\), haríamos:
\[3=\sqrt{9}=9^{\frac{1}{2}}\]
Sustituyendo:
\[\left(9^{\frac{1}{2}}\right)^{x-1}=9\]
Por las propiedades de los exponentes:
\[9^{\frac{x+1}{2}}=9\]
Igualando los exponentes, recordando que el exponente de \(9\) solamente es \(1\):
\[\frac{x+1}{2}=1\]
\[x+1=2\]
\[x=1\]
¡Mismo resultado! Ambos métodos funcionan, puedes escoger el de tu preferencia.
Número de Euler y la exponencial
Una base común, a pesar de parecer extraña, es la base con el número de Euler:
\[\mathrm{e}^{4} \quad \mathrm{e}^{11} \quad \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\]
El número de Euler (o número neperiano) es extremadamente importante, se trata de un número irracional al igual que \(\pi\).
\[e \approx 2.718\]
Existen diversas situaciones asociadas al número de Euler que iremos viendo conforme avanzamos. No es nada del otro mundo, es un número más del montón.
El logaritmo
El logaritmo está estrechamente relacionado al exponencial. El siguiente logaritmo:
\[\log _{10} 100\]
Nos lleva a la pregunta:
¿A qué número tenemos que elevar a \(10\) para que el resultado sea \(100\)?
La respuesta es \(2\), porque \(10^{2}=100\). Por tanto:
\[\log _{10} 100=2\]
Los logaritmos de base \(10\) son comunes, por lo que en ocasiones se sobreentiende que:
\[\log 100=2\]
Cuando veas un logaritmo que no tiene base, recuerda que es \(10\). En caso de que su base sea otra, estará especificada de la siguiente manera:
\[\log _{2} 4 \quad \log _{3} 9 \quad \log _{4} 16\]
El logaritmo natural
Al igual que la base \(10\), existe otra base común entre los logaritmos. Se trata de los logaritmos de base \(e\), es decir, con base igual al número de Euler, como:
\[\log _{e} 3\]
Sin embargo, cuando tenemos un logaritmo de base \(e\) es escrito de la siguiente forma:
\[\ln 3\]
Donde \(\ln\) quiere decir “logaritmo natural”, o simplemente logaritmo de base \(e\).
Propiedades del logaritmo
Existen diversas propiedades para el logaritmo, independientemente de cual sea su base, estas son:
\[\log _{b} 1=0\]
Ya que \(b\) elevado a \(1\) es \(b\), cualquier número elevado a cero es \(1\). ¿Cuál número elevado a \(b\) (base) tiene como resultado \(1\)? \(0\).
\[\log _{b} b=1\]
Ya que \(b\) elevado a \(1\) es \(b\). ¿Cuál número elevado a \(b\) (base) tiene como resultado \(b\)? \(1\).
Además de estos valores, tenemos que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
\[\log _{b} x y=\log _{b} x+\log _{b} y\]
\[\log _{2} 6=\log _{2} 3+\log _{2} 2\]
El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos:
\[\log _{b} x / y=\log _{b} x-\log _{b} y\]
\[\log _{5} \frac{3}{2}=\log _{5} 3-\log _{5} 2\]
Y también tenemos logaritmo de una potencia:
\[\log _{b} x^{k}=k \log _{b} x\]
\[\log _{6} 36=\log _{6} 6^{2}=2 . \log _{6} 6=2.1=2\]
Finalmente, tenemos el cambio de base:
\[\log _{b} a=\frac{\log _{c} a}{\log _{c} b}\]
Ecuación logarítmica
A partir de este punto, podemos empezar a hablar de ecuaciones logarítmicas. Para resolver, todo debe tener la misma base o tratar de cortar el logaritmo según sus propiedades. A continuación algunos ejemplos:
\[\log _{2}(x+1)=0\]
¿Cómo transformamos ese cero en un logaritmo de base \(2\)? Simple, recuerda las propiedades:
\[\log _{b} 1=0\]
Entonces:
\[\log _{2} 1=0\]
Y podemos escribir:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{2} 1\]
Una vez que todo tiene la misma base, podemos “cortar” el logaritmo:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{2} 1 \Longrightarrow x+1=1 \Longrightarrow x=0\]
Esta es la solución del problema:
\[S=\{0\}\]
Decimos cortar entre comilllas, porque no se trata de una operación matemática sino más bien de un truco que utilizamos según sea el caso.
Existen situaciones en donde los logaritmos tienen bases distintas:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{4}(x+1)\]
No podemos “cortar”, pues para hacerlo todo tiene que estar en la misma base. Como el objetivo es hacer que todo tenga la misma base, utilizaremos la propiedad de cambio de base. Haremos que el logaritmo de base \(4\) se convierta en uno de base \(2\):
\[\log _{4}(x+1)=\frac{\log _{2}(x+1)}{\log _{2} 4}\]
Como \(\log _{2} 4=2\), porque \(2^{2}=4 \ldots\)
\[\log _{4}(x+1)=\frac{\log _{2}(x+1)}{2}\]
Sustituimos:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{4}(x+1) \Longrightarrow \log _{2}(x+1)=\frac{1}{2} \log _{2}(x+1)\]
Para poder “cortar”, todo tiene que estar dentro del logaritmo, entonces, usamos la propiedad de la potencia para integrar la fracción en el logaritmo:
\[\log _{b} x^{k}=k \log _{b} x \Longleftrightarrow k \log _{b} x=k \log _{b} x\]
\[\frac{1}{2} \log _{2}(x+1)=\log _{2}\left((x+1)^{1 / 2}\right)=\log _{2} \sqrt{x+1}\]
Así:
\[\log _{2}(x+1)=\frac{1}{2} \log _{2}(x+1)=\log _{2}(x+1)=\log _{2} \sqrt{x+1}\]
Finalmente podemos “cortar”:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{2} \sqrt{x+1} \Rightarrow x+1=\sqrt{x+1}\]
Elevando ambos lados al cuadrado para sumar con la raíz:
\[(x+1)^{2}=x+1 \Longrightarrow x^{2}+2 x+1=x+1 \Longrightarrow x^{2}+x=0 \Longrightarrow x(x+1)=0\]
Es decir:
\[x=0 \quad x=-1\]
¿Será? Creo que tenemos un problema.
Condiciones de existencia
Observa que cuando sustituimos \[x=-1\] en la ecuación:
\[\log _{2}(x+1)=\log _{4}(x+1) \Longrightarrow \log _{2}(-1+1)=\log _{4}(-1+1)=\log _{2}(0)=\log _{4}(0)\]
La pregunta es: ¿a qué número es elevado \(2\) para que sea cero? De la misma forma, ¿a qué número es elevado \(4\) para que sea cero? La verdad es que podemos acercarnos a cero, pero no lo suficiente para valores infinitos. Por tanto, no existe \(\log _{b} 0\) para ninguna base.
Eso significa que \(x=-1\) no es la solución de la ecuación, porque nos lleva a \(\log _{b} 0\):
\[S=\{0\}\]
Ya que \(x=0\) es el único valor válido. Además de que el logaritmo de cero no existe, tampoco existen logaritmos de números negativos. Volvamos nuevamente a la pregunta:
¿A qué número es elevado \(2\) para que sea cero? \(2\) es una base mayor que cero, como toda las bases de un logaritmo, según su definición. Elevar a \(2\) a cierto número significa multiplicarlo por sí mismo muchas veces. No se puede multiplicar un número por sí mismo mucha veces y obtener un resultado negativo, por esta razón tampoco existe el logaritmo de un número negativo.
Cuando llegamos al resultado de la ecuación que surge al “cortar” el logaritmo, entonces tenemos que sustituir su valor para ver si no aparece un logaritmo de cero o negativo. Si esto ocurre, dicho valor no formará parte del conjunto solución del problema. ¡Presta atención!
\(\log _{b} A\), como \(b>0\) y \(b \neq 1\), existe si y solamente si:
\[A>0\]
¡Vamos a los ejercicios!
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