Binomio de Newton

Introducción

¡Bienvenidos!

En esta ocasión hablaremos sobre el “Binomio de Newton” también conocido como teorema del binomio. La razón de este teorema es la siguiente:

\[(a+b)^{2} y (a-b)^{2}\]

\[(a+b)^{3} y (a-b)^{3}\]

Estamos cansados de ver potencias de ese tipo. 

Pero supongamos que te piden desarrollar esta potencia:

\[(x+1)^{4}\]

Oh no, complicado ¿verdad?

Para eso existe el Binomio de Newton, para desarrollar potencias de esta forma:

\[(a+b)^{n}  o  (a-b)^{n}\]

Coeficiente binomial 

Antes de llegar a la fórmula, vamos a definir qué son los números combinatorios. Se trata de números que corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Aunque no hemos estudiado combinatorio (más adelante lo veremos) debes haber escuchado la frase “\(n\) escoge \(k\)”. Esa frase se representa matemáticamente así:

\[\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\]

Donde \(n \in \mathbb{N}\) y \(0 \leq k \leq n\):

\[\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}\]

Donde \(x !=x \cdot(x-1) \cdot(x-2) \ldots 3.2 .1\)

Término General  

Primero, quiero mostrarte nuevamente los siguientes productos notables:

\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\]

La potencia es \(2\) y la cantidad de términos es \(3\). Y además:

\[(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\]

En este caso la potencia es \(3\) y la cantidad de términos es \(4\).

Por tanto, podemos notar que cuando tenemos una potencia de forma \((a+b)^{n}\), tendremos \(n+1\) términos. 

No entraré más en detalles, pero

¡Mira, un número combinatorio!

Esa fórmula sirve para \((a+b)^{n} \ldots\) ¿Y si te encuentras con \((a-b)^{n}\)?

“¡LLORO!” 

Tranquilo, recuerda que: 

\[(a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}\] 

Vamos a sustituir esto en la ecuación:

\[T_{k+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k}(-b)^{k}\]

\[T_{k+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k}(-1)^{k} b^{k}\]

\[T_{k+1}=(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}\] 

Listo, llegamos a la fórmula. No pasa nada si la olvidas, sólo tienes que recordar esto:

Triángulo de Pascal 

Esta herramiento es super útil cuando se trabaja con coeficientes binomiales. Desde este momento te adelanto que no tienes que aprenderlo o memorizarlo.

“¿Para qué lo usamos?”

Bueno, los usamos para escoger los coeficientes de las potencias. Vamos a construirlo y ver algunos ejemplo:

Se construye de la siguiente forma, comienza por el número \(1\):

\[1\] 

Esa es la primera línea. Recuerda: la línea \(n\) tiene \(n\) términos:

Esa línea tiene el coeficiente de \((a+b)^{0}=1\)

Sigamos con la segunda línea, sabiendo que tanto el primero como el último término de cada línea es \(1\):

Esa línea tiene los coeficientes de \((a+b)^{1}=1 a+1 b\)

Y ahora, construimos los términos, de esta forma: 

Entonces:

Esa última línea que construimos tiene los coeficientes de \((a+b)^{2}=1 a^{2}+2 a b+1 b^{2}\)

Bien, hasta ahora tenemos \(3\) líneas, vamos por la \(4\):

¿Adivina? La último línea tiene los coeficientes de \((a+b)^{3}=1 a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+1 b^{3}\)

Como debería ser. Mira la quinta línea: 

Esta posee los coeficientes de \((a+b)^{4}=1 a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+1 b^{4}\)

Y la sexta: 

Esta posee los coeficientes de \((a+b)^{5}=1 a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+1 b^{5}\)

Puedes seguir haciendo cuantas líneas necesites.

Suma de Coeficientes

Supongamos que te preguntan lo siguiente:

\[\text {Determine la suma de coeficientes de } (x+2)^{5}\] 

Puedes resolverlo a través del triángulo de Pascal, pero te daré un consejo: solo tiene que decir que ese es el binomio de \(P(x)\) y calcular \(P(1)\).

“¿De donde sacas esa solución?”

Ya deberías saber el porqué, pero igualmente pondré la fórmula general del polinomio:

\[P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\]

Si sustituimos \(x=1\): 

\[P(1)=a_{n}+a_{n-1}+\ldots+a_{2}+a_{1}+a_{0}\]

¡Tenemos la suma de coeficientes! 

En nuestro caso:

\[P(x)=(x+2)^{5}\]

\[P(1)=(1+2)^{5}\]

\[P(1)=3^{5}\]

\[P(1)=243\] 

Entonces, la suma de coeficientes es igual a \(243\).