Binomio de Newton
Introducción
¡Bienvenidos!
En esta ocasión hablaremos sobre el “Binomio de Newton” también conocido como teorema del binomio. La razón de este teorema es la siguiente:
\[(a+b)^{2} y (a-b)^{2}\]
\[(a+b)^{3} y (a-b)^{3}\]
Estamos cansados de ver potencias de ese tipo.
Pero supongamos que te piden desarrollar esta potencia:
\[(x+1)^{4}\]
Oh no, complicado ¿verdad?
Para eso existe el Binomio de Newton, para desarrollar potencias de esta forma:
\[(a+b)^{n} o (a-b)^{n}\]
Coeficiente binomial
Antes de llegar a la fórmula, vamos a definir qué son los números combinatorios. Se trata de números que corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Aunque no hemos estudiado combinatorio (más adelante lo veremos) debes haber escuchado la frase “\(n\) escoge \(k\)”. Esa frase se representa matemáticamente así:
\[\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\]
Donde \(n \in \mathbb{N}\) y \(0 \leq k \leq n\):
\[\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}\]
Donde \(x !=x \cdot(x-1) \cdot(x-2) \ldots 3.2 .1\)
Término General
Primero, quiero mostrarte nuevamente los siguientes productos notables:
\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\]
La potencia es \(2\) y la cantidad de términos es \(3\). Y además:
\[(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\]
En este caso la potencia es \(3\) y la cantidad de términos es \(4\).
Por tanto, podemos notar que cuando tenemos una potencia de forma \((a+b)^{n}\), tendremos \(n+1\) términos.
No entraré más en detalles, pero
¡Mira, un número combinatorio!
Esa fórmula sirve para \((a+b)^{n} \ldots\) ¿Y si te encuentras con \((a-b)^{n}\)?
“¡LLORO!”
Tranquilo, recuerda que:
\[(a-b)^{n}=(a+(-b))^{n}\]
Vamos a sustituir esto en la ecuación:
\[T_{k+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k}(-b)^{k}\]
\[T_{k+1}=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k}(-1)^{k} b^{k}\]
\[T_{k+1}=(-1)^{k}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}\]
Listo, llegamos a la fórmula. No pasa nada si la olvidas, sólo tienes que recordar esto:
Triángulo de Pascal
Esta herramiento es super útil cuando se trabaja con coeficientes binomiales. Desde este momento te adelanto que no tienes que aprenderlo o memorizarlo.
“¿Para qué lo usamos?”
Bueno, los usamos para escoger los coeficientes de las potencias. Vamos a construirlo y ver algunos ejemplo:
Se construye de la siguiente forma, comienza por el número \(1\):
\[1\]
Esa es la primera línea. Recuerda: la línea \(n\) tiene \(n\) términos:
Esa línea tiene el coeficiente de \((a+b)^{0}=1\)
Sigamos con la segunda línea, sabiendo que tanto el primero como el último término de cada línea es \(1\):
Esa línea tiene los coeficientes de \((a+b)^{1}=1 a+1 b\)
Y ahora, construimos los términos, de esta forma:
Entonces:
Esa última línea que construimos tiene los coeficientes de \((a+b)^{2}=1 a^{2}+2 a b+1 b^{2}\)
Bien, hasta ahora tenemos \(3\) líneas, vamos por la \(4\):
¿Adivina? La último línea tiene los coeficientes de \((a+b)^{3}=1 a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+1 b^{3}\)
Como debería ser. Mira la quinta línea:
Esta posee los coeficientes de \((a+b)^{4}=1 a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+1 b^{4}\)
Y la sexta:
Esta posee los coeficientes de \((a+b)^{5}=1 a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+1 b^{5}\)
Puedes seguir haciendo cuantas líneas necesites.
Suma de Coeficientes
Supongamos que te preguntan lo siguiente:
\[\text {Determine la suma de coeficientes de } (x+2)^{5}\]
Puedes resolverlo a través del triángulo de Pascal, pero te daré un consejo: solo tiene que decir que ese es el binomio de \(P(x)\) y calcular \(P(1)\).
“¿De donde sacas esa solución?”
Ya deberías saber el porqué, pero igualmente pondré la fórmula general del polinomio:
\[P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0}\]
Si sustituimos \(x=1\):
\[P(1)=a_{n}+a_{n-1}+\ldots+a_{2}+a_{1}+a_{0}\]
¡Tenemos la suma de coeficientes!
En nuestro caso:
\[P(x)=(x+2)^{5}\]
\[P(1)=(1+2)^{5}\]
\[P(1)=3^{5}\]
\[P(1)=243\]
Entonces, la suma de coeficientes es igual a \(243\).
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