Función Cuadrática
Introducción
En esta ocasión estudiaremos las funciones de segundo grado. Como su nombre indica, son funciones en donde aparece el término:
\[x^{2}\]
Pero eso no es todo. Este término debe ser el de mayor grado en la función, por esto, son funciones de segundo grado:
\[f(x)=x^{2}+2 x+1\]
\[g(x)=x^{2}+5\]
Más no es si:
\[f(x)=x^{5}+2 x^{2}+1\]
Pues el término de mayor grado es \(x^{5}\). A partir de lo anterior, podemos representar una forma general para la función de segundo grado:
\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]
Donde \(a, b\) y \(c\) son números reales. Tenemos un detalle importante: el valor junto a \(x^{2}\) debe ser distinto a \(0\), de no ser así, \(x^{2}\) no podría aparecer, por lo que no sería una función de segundo grado.
Dominio
El dominio de la función es fácil de hallar. Como es:
\[f(x)=a x^{2}+b x+c\]
Y no tenemos ninguna restricción para ningún valor de \(x\), el dominio será cualquier valor real de \(x\):
\[D(f)=\mathbb{R}\]
No tenemos que preocuparnos sobre la imagen de la función de \(2^{º}\) grado.
Gráfico de una función de \(2^{º}\) grado
La primera cosa que tenemos que saber es cómo es el gráfico de esta función. Su gráfico es una parábola; aprender a trazarla en el plano cartesiano es lo interesante de este tipo de función. Primero, ¿sabes cómo es una parábola? Es parecida a un arco, algo así:
Esa es una parábola cualquiera, es netamente para que veas como es. ¿No te recuerda a una antena parabólica (claro, la antena tiene tres dimensiones y aquí estamos hablando de algo plano) o a la trayectoria de una pelota de basquetball cuando es lanzada a la canasta?
Para trazar la parábola necesitamos dos cosas:
1. Las raíces de la función de segundo grado
2. La concavidad de la función de segundo grado
Lo primero que tenemos que hacer es hallar las raíces de esa función de \(2^{º}\) grado. Para eso hacemos:
\[f(x)=0\]
Eso no es más, en este caso, que la ecuación:
\[a x^{2}+b x+c=0\]
Es decir, para encontrar las raíces de la función de segundo grado, necesitamos calcular las raíces de la ecuación de segundo grado correspondiente. Conforme lo que hemos visto sobre las funciones de segundo grado, las raíces serán dadas por la fórmula de Bhaskara.
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\]
Considerando:
\[\Delta=b^{2}-4 a c\]
Escribimos la solución de esta manera:
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}\]
Dependiendo del valor de \(\Delta\), tenemos:
- Si \(\Delta=0\), tenemos raíces reales iguales.
- Si \(\Delta<0\), tenemos raíces complejas distintas.
- Si \(\Delta>0\), tenemos raíces reales distintas.
En términos gráficos, tenemos:
O sea, cuando \(\Delta>0\), tenemos la primera situación, donde el gráfico cruza el eje \(x\) dos veces. Para \(\Delta=0\), tenemos la segunda, donde la parábola apenas toca el eje \(x\). Finalmente, cuando \(\Delta<0\), la función no tiene raíz real y, por tanto, nunca tocará el eje \(x\).
Ya aprendimos tanto a hallar las raíces como saber si son dos o una, al igual que entender cómo esto afecta la posición de la parábola. Lo siguiente es analizar la concavidad de la parábola. Debes estar preguntándote ¿qué es la concavidad? No es más que la orientación de la parábola - hacia arriba o hacia abajo. Ambos casos lucen así:
En la azul, la parábola está con la “barriguita” hacia abajo, por tanto, es cóncava hacia arriba. Mientras que la naranja (o marrón, dependiendo de tu monitor) está con la “barriguita” hacia arriba, por tanto, es cóncava hacia abajo.
Otra forma de verlo, es dibujando una flecha en la parábola, comenzando desde la parte donde la parábola se curva, para luego apuntar hacia el otro lado de la parábola, así:
Por tanto, donde la flecha apunta hacia arriba es cóncava hacia arriba, donde la flecha apunta hacia abajo es cóncava hacia abajo.
Algebraicamente, podemos saber esa concavidad a través del coeficiente \(a\) de la ecuación, que es aquel que multiplica a \(x^{2}\)
- Si \(x>0\), el gráfico de la función tiene concavidad hacia arriba;
- Si \(a<0\), el gráfico de la función tiene concavidad hacia abajo.
Veamos las diferentes situaciones posibles relacionadas a la concavidad y al número de raíces.
Cóncava hacia arriba
Todas esas son cóncavas hacia arriba, lo que cambia es las raíces.
Cóncava hacia abajo
La idea aplica igual que para la otra concavidad. Ya que entendemos las dos partes principales, veamos un ejemplo.
Determine el gráfico de \(f(x)\)
\[f(x)=x^{2}-1\]
Comencemos hallando las raíces:
\[x^{2}-1=0\]
Podemos resolver por Bhaskara o, en este caso, despejando \(x^{2}\):
\[x^{2}=1\]
\[x=\pm 1\]
Y tenemos las dos raíces, que son diferentes. Además, el valor de \(a\) es \(1\), que es mayor que \(0\), por tanto, es cóncava hacia arriba. Su gráfico será:
Vértice de la parábola
Falta algo más. El último componente del gráfico de la función de \(2^{º}\) grado es su extremo. Recuerda que la parábola, independientemente de su concavidad, posee un punto donde hace la curva. Ese punto es el extremo de la parábola, el cual también es llamado vértice. El valor de \(x\) del vértice \(x_{v}\) está determinado por:
\[x_{v}=-\frac{b}{2 a}\]
Por su parte, \(y\) del vértice \(y_{v}\) o \(f (x_{v})\) es determinado por:
\[y_{v}=f\left(x_{v}\right)=-\frac{\Delta}{4 a}\]
Por ejemplo, para \(f(x)=x^{2}-5 x+6\) tenemos
\[\Delta=b^{2}-4 a c=5^{2}-4.1 .6=25-24=1\]
\[x_{v}=-\frac{(-5)}{2.1}=\frac{5}{2}=2,5\]
\[y_{v}=-\frac{1}{4.1}=-\frac{1}{4}=-0,25\]
Es decir, el vértice tiene coordenadas \((2.5,-0.25)\)
Para \(f(x)=x^{2}-5 x+6\) tenemos:
\[a>0 \rightarrow \text {Concavidad hacia arriba}\]
\[\text {Raíces} \rightarrow 2 \text { y } 3\]
\[\text {Vértice} \rightarrow(2.5,-0.25)\]
¿Cómo se verá eso en el gráfico?
Imagen
La imagen de la función de segundo grado está estrechamente ligada a su vértice. Cuando la función es cóncava hacia arriba, su vértice será el punto mínimo de la parábola y, por tanto, la imagen será todos los valores iguales o mayores que el punto.
Mientras que cuando la función es cóncava hacia abajo, su vértice será el punto máximo y la imagen, por tanto, será todos los valores iguales o menores que ese punto.
En el ejemplo de \(f(x)=x^{2}-1\), tenemos que:
\[f\left(x_{v}\right)=-\frac{\Delta}{4 a}=-\frac{4}{4}=-1\]
También, tenemos \(a=1\), es decir, la función es cóncava hacia arriba y el valor de \(f\left(x_{v}\right)\) indica el punto mínimo de la función. De esa forma, la imagen será:
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq-1\}\]
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