Inecuaciones con Valor Absoluto

Entre los tipos de inecuaciones se encuentran aquellas con valor absoluto. Por ejemplo:

\[|x-3| \leq 4\]

La pregunta es: ¿cómo se resuelve?

Tenemos dos situaciones posibles, una en donde (tal como en el ejemplo) el módulo es menor que un número, y otra donde el módulo es mayor que es un número. Para resolver cada caso, tenemos:

Caso 1: módulo menor que un número

En este caso tenemos que transformar la inecuación en dos inecuaciones diferentes. Hallamos la solución para cada una y determinamos la intersección. 

\[|x-3| \leq 4 \Rightarrow x-3 \leq 4 \quad \text {y} \quad-4 \leq x-3\]

Transformar en dos inecuaciones, una con \(4\) y otra con \(-4\).

\(-4\) será menor que la función dentro del módulo mientras que \(4\) será mayor que la función dentro del módulo. Solo falta hallar la intersección de las soluciones de las inecuaciones.

Entonces tenemos dos inecuaciones para resolver, la primera será:

\[-4 \leq x-3\]

\[-4+3 \leq x\]

\[x \geq-1\]

La segunda será:

\[x-3 \leq 4\]

\[x \leq 7\]

\[-1 \leq x \leq 7\]

Finalmente, la solución de este caso será:

\[-1 \leq x \leq 7\]

¿Entendido? De forma general, esta inecuación, para una función cualquiera, sería:

\[|f(x)| \leq a\]

Para resolver este caso, se deben escribir ambas inecuaciones y hallar la intersección de las soluciones. 

\[f(x) \leq a \quad \text {y } \space -a \leq f(x)\]

Caso 2: módulo mayor que un número

En este caso también vamos a transformar la inecuación en dos intervalos, sin embargo, la solución será la unión de los dos intervalos (no de la intersección). Por ejemplo:

\[|x+4| \geq 5\]

Tendremos dos inecuaciones:

\[x+4 \geq 5 \quad \text  {o } \space -5 \geq x+4\]

Transformamos en dos inecuaciones, una con \(5\) y otra con \(-5\).

\(-5\) será mayor que la función dentro del módulo mientras que \(5\) será menor que la función dentro del módulo. Solo falta la unión de las soluciones de las inecuaciones. 

Resolviendo las inecuaciones tendremos:

\[x+4 \geq 5\]

\[x \geq 1\]

Y:

\[-5 \geq x+4\]

\[-9 \geq x\]

Y la solución será:

\[x \leq-9 \space \text  { o} \space \space x \geq 1\]

¿Quedó claro? De forma general, esta inecuación para una función cualquiera, sería así:

\[|f(x)| \geq a\]

Entonces para resolver este caso, se deben escribir ambas ecuaciones y hallar la unión de las soluciones:

\[f(x) \geq a \quad \text {y } \space -a \geq f(x)\]

OBS:

Aunque en lugar de números tengamos una función fuera del módulo en la inecuación la lógica es la misma. 

Inecuaciones Generales

Por supuesto que las inecuaciones pueden ser tan difíciles como puedas pensar, pero el concepto de resolución es el mismo. A continuación algunos consejos:

• Si la inecuación tiene términos de ambos lados, pasalos siempre al lado izquierdo, para tener \(0\) en el lado derecho. 

• Factoriza siempre que sea posible; pues será de mucha utilidad para aplicar el método anterior.  

• Escribir las funciones siempre ayuda a visualizar la solución.

Y eso es todo, en los ejercicios veremos algunos casos aún más complicados pero no te preocupes, porque entenderás que hacer en cada uno. 

¡A los ejercicios!