Ecuaciones trigonométricas

Introducción

¡Bienvenidos! Espero que esten genial.

Hemos recorrido un largo camino juntos para llegar a las ecuaciones más temidas (no te preocupes, son indefensas), las ecuaciones trigonométricas.

Son aquellas ecuaciones que involucran seno, coseno, tangente y sus inversas, de esta forma:

\[\operatorname{sen}(x+1)=0\]

Ecuaciones trigonométricas 

Para la ecuación anterior, tenemos que encontrar un valor \(\varphi\) para el seno en el cual:

\[\operatorname{sen}(\varphi)=0\]

En temas anteriores vimos que:

\[\operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(\pi)=0\]

Entonces tenemos:

\[x+1=0 \quad x+1=\pi\]

Para la primera ecuación, encontramos:

\[x+1=0 \Longrightarrow x=-1\]

Para la segunda:

\[x+1=\pi \Longrightarrow x=\pi-1\]

Estas son las soluciones del problema, pero no son todas.

Congruencia de arcos

En la circunferencia goniométrica, tenemos que cada \(2 \pi \mathrm{rad}\) o \(360^{\circ}\) pasamos nuevamente por el origen de la misma. Eso significa que los valores tanto de seno como de coseno se repiten cada \(2 \pi \mathrm{rad}\) o \(360^{\circ}\) conforme la congruencia de los arcos. Es decir, si tenemos un ángulo de \(720^{\circ}\), sabemos que se traduce a dos vueltas en la circunferencia. De esa forma, no solo tenemos:

\[\operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(\pi)=0\]

Sino también:

\[\operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(\pi)=0 \Longrightarrow \operatorname{sen}(0+2 \pi k)=\operatorname{sen}(\pi+2 \pi k)=0\]

Siendo \(k\) cualquier número entero. Escribimos \(2 \pi k\) como \(2 k \pi\), por cuestiones de interpretación, sólo quiere decir que podemos estar dando \(k\) vueltas en el círculo. Podemos resolver el problema para ambas situaciones u observar que el seno está yendo a cero cada \(\pi k\) radianos, lo que significa que:

\[\operatorname{sen}(0+\pi k)=\operatorname{sen}(\pi k)=0\]

O sea:

\[x+1=\pi k=>x=\pi k-1\]

Esa es la solución final del problema. 

¿Entonces, tanto \(x=-1\) como \(x=\pi-1\) que encontramos al principio son incorrectos? No, estos hacen parte de la solución de la ecuación, pero solo indican los posibles valores de \(x\) para la primera vuelta en la circunferencia goniométrica, o para los ángulos entre \(0\) y \(2 \pi \space rad\), basta sustituir  \(k\) por  \(0\) y \(1\). La solución que acabamos de hallar es válida para cualquier número de vueltas que demos y es la solución completa del problema. 

Observa que, para \(k=0\):

\[x=\pi k-1 \Longrightarrow x=-1\]

Que es el primer resultado. Para \(k=1\)

\[x=\pi k-1 \Longrightarrow x=\pi-1\]

¿Y el segundo? La solución para la primera vuelta está dentro del conjunto solución para todas las vueltas posibles.

Ecuación involucrando diferentes relaciones trigonométricas

Para una mejor comprensión de esta sección, recordaremos cuáles son las principales relaciones trigonométricas:

\[\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\]

A partir de la ecuación, deducimos que:

\[\operatorname{tg}^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)\]

\[\operatorname{cotg}^{2}(x)+1=\operatorname{cossec}^{2}(x)\]

También tenemos que recordar la suma y resta:

\[\operatorname{sen}(a \pm b)=\operatorname{sen}(a) \cdot \cos (b) \pm \operatorname{sen}(b) \cdot \cos (a)\]

\[\cos (a \pm b)=\cos (a) \cdot \cos (b) \mp \operatorname{sen}(a) \cdot \operatorname{sen}(b)\]

\[t g(a \pm b)=\frac{t g(a) \pm t g(b)}{1 \mp t g(a) t g(b)}\]

Con eso en mente, veamos cómo resolver ecuaciones del tipo:

\[\cos (x)=-\operatorname{sen}(2 x+\pi)\]

Es decir, ecuaciones que no solamente involucran seno, coseno o tangente, sino más bien una combinación de ellas. 

Resolver este tipo de ecuación parte del principio de que podemos reducirlas solamente utilizando seno, coseno o tangente, como vimos anteriormente. Intentemos resolver el siguiente problema:

\[-\operatorname{sen}(2 x+\pi)=-[\operatorname{sen}(2 x) \cdot \cos (\pi)+\operatorname{sen}(\pi) \cdot \cos (2 x)]=\operatorname{sen}(2 x)+0=\operatorname{sen}(2 x)\]

Vamos a separar ese arco doble:

\[\operatorname{sen}(2 x)=\operatorname{sen}(x) \cdot \cos (x)+\operatorname{sen}(x) \cdot \cos (x)=2 \operatorname{sen}(x) \cos (x)\]

Sustituyendo en la ecuación:

\[\cos (x)=-\operatorname{sen}(2 x+\pi) \Longrightarrow \cos (x)=2 \operatorname{sen}(x) \cos (x)\]

Pasando \(\cos (x)\) hacia el otro lado:

\[2 \operatorname{sen}(x)=\frac{\cos (x)}{\cos (x)} \Longrightarrow \operatorname{sen}(x)=\frac{1}{2}\]

Cuando hacemos eso, tenemos que despreciar todos los valores en los cuales \(\cos (x)\) es cero, pues esto conduciría a una división por cero. De esta manera, esto es válido para \(x \neq \pi / 2+\pi k\), con \(k\) entero. 

Sabiendo eso, llegamos a:

\[\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{2}\]

El seno vale \(1 / 2\) para ángulos de \(\pi / 6\) y \(5 \pi / 6 \mathrm{rad}\). Considerando también la congruencia de los arcos, llegaremos a:

\[x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k \quad \mathrm{x}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k\] 

Como puedes ver ninguno de estos valores coincide con la restricción generada a la hora de “cortar” el coseno. Por tanto, esta es la solución final del problema. 

Por cierto…

¿Por que siempre utilizamos ángulos en radianes en lugar de grados? Porque la solución en valores de \(x\) siempre debe ser dada en radianes, nunca en grados. Si te resulta complicado trabajar en radianes, puedes usar los valores en grados y luego convertirlos en radianes usando la fórmula:

\[\varphi_{r a d}=\frac{2 \pi}{360} \cdot \varphi_{g r ado s}\]

No te preocupes, con el tiempo te irás acostumbrando a trabajar con radianes y todo será más fácil.