Inecuaciones trigonométricas

¿Recuerdas las funciones trigonométricas? Estas se forman a partir de la circunferencia goniométrica. Las principales son:

\[\operatorname{sen}(x) \quad \cos (x) \quad \tan (x)\]

Inecuaciones para seno y coseno

Para las dos primeras son limitadas:

\[-1 \leq \operatorname{sen}(x) \leq 1\]

\[-1 \leq \cos (x) \leq 1\]

Esa afirmación es verdadera para todos los valores de \(x\). Sin embargo, si consideramos solamente la primera revolución, tenemos que:

\[0<x<2 \pi\]

Ese es el intervalo fundamental para \(x\), donde se obtienen todos los valores posibles para la función.

Pero, cuando tenemos algo como: 

\[\operatorname{sen}(x)<\frac{1}{2}\]

Estamos tomando la inecuación fundamental del seno y restringiendola aún más. Los posibles valores de \(x\) serán aquellos cuyo seno es menor que \(1 / 2\).

Para determinarlos, primero debemos hallar el punto donde el seno tiene ese valor, que es:

\[x=\frac{\pi}{6}\]

Luego, analizamos lo que ocurre cuadrante por cuadrante, en sentido antihorario. 

En el primer cuadrante \((0 \text { hasta } \pi / 2)\), donde está el punto en cuestión, cuanto mayor el ángulo, mayor el seno, entonces, precisamos de:

\[0<x<\pi / 6\]

En el segundo cuadrante \((\pi / 2 \text { hasta } \pi)\), cuanto mayor el ángulo, menor el seno. Al comienzo del cuadrante, el seno vale \(1(\operatorname{sen} \pi / 2=1)\), a lo largo del mismo va disminuyendo hasta que en \(x=5 \pi / 6\) vuelve a ser \(1/2\).

De esa manera:

\[\frac{5 \pi}{6}<x<\pi\]

Tanto para el tercero como para el cuarto cuadrante, el seno siempre es negativo, y por tanto:

\[\pi<x<2 \pi\]

De esa forma, el resultado será:

\[0 \leq x<\frac{\pi}{6} \quad y \quad \frac{5 \pi}{6}<x<0\]

La misma analogía es válida para el coseno. 

Inecuaciones con tangente

La tangente, a diferencia del seno y coseno, no es limitada, o sea, su imagen admite cualquier valor entre menos y más infinito. 

Entonces, ¿cómo se resuelven las inecuaciones con tangente? Debemos recordar que: la tangente siempre es creciente entre los cuadrantes.

De esa manera, por ejemplo:

\[\tan (x)>1 \quad 0<x<2 \pi\]

Hallamos el primer punto donde la tangente vale \(1\).

\[\tan (x) \rightarrow x=\pi / 4\]

Y, como la tangente siempre es creciente y queremos valores mayores que \(1\).

\[\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2} \space \space y \space \space \frac{3 \pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{2}\]

Con valores menores que \(2 \pi\) porque ese fue el límite impuesto en la inecuación.

Inecuaciones con secante, cosecante y cotangente

Por definición, tenemos que:

\[\sec (\mathrm{x})=\frac{1}{\cos (x)} \quad \csc (x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\]

De esa manera, una inecuación como:

\[\csc (x)>2\]

Nos lleva a:

\[\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}>\frac{2}{1}\]

Lo cual implica que:

\[\operatorname{sen}(x)<\frac{1}{2}\]

Con el signo opuesto. El resto es resolver de la misma manera que lo hicimos anteriormente. 

Para cotangente, debemos recordar que este es decreciente entre los cuadrantes, es decir:

\[\operatorname{cotg}(x)<1 \quad 0<x<2 \pi\]

Ocurre cuando:

\[\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2} \space \space y \space \space \frac{3 \pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{2}\]

¡Vamos a los ejercicios!