Modificación de Gráficos
¿En qué consiste modificar un gráfico? Se trata de mover, reflejar o alterar la inclinación de un gráfico. A continuación, veremos cada caso por separado:
Transformaciones \(y=f(x-c)\) y \(y=f(x+c)\)
Esta transformación ocurre en el eje horizontal porque estamos utilizando la variable \(x\).
Entonces, solo tenemos dos posibilidades: si se mueve a la derecha o a la izquierda. No existe otra alternativa en el eje \(x\).
La pregunta es: si estamos saliendo de \(y=f(x)\) para \(y=f(x-c)\) ¿vamos hacia la derecha o hacia la izquierda? ¿Y que aparece?
Veamos lo que ocurre mediante un ejemplo
Ejemplo: vamos a comenzar con la función \(y=x^{2}-4\), que es una parábola. Es una parábola con raíces en \(-2\) y \(2\). Teniendo \(a=1\), que es positivo, obtenemos el siguiente gráfico:
Lo siguiente es trazar el gráfico de la función
\[y=f(x-3)\]
Eso quedará así
\[y=(x-3)^{2}-4\]
¿Cómo trazaremos el gráfico de \(y=(x-3)^{2}-4\)?
En primer lugar, ten en cuenta que:
\[y=(x-3)^{2}-4\]
\[\Rightarrow y=x^{2}-6 x+9-4=x^{2}-6 x+5\]
Esta función es una parábola igual a la otra solo que con raíces diferentes, estas son \(1\) y \(5\). Su gráfico es:
Bien, ¿pero qué tiene que ver un gráfico con el otro?
Pongamos uno al lado del otro para observar qué ocurre:
Las formas de los gráficos son iguales ¿no? Ambos son parábolas mirando hacia arriba.
Mirando con un poco más de detalle podemos percibir que, en realidad, el gráfico verde parece ser el gráfico azul desplazado hacia la derecha. ¿Verdad?
Pero ¿para qué hicimos eso? Recuerda que tenemos \(f(x)\) para la función azul y \(f(x-3)\) para la función verde.
En esta última, todo ocurre \(3\) unidades después porque está restando \(3\) de \(x\). Eso hace que toda la función se “atrase” \(3\) unidades, por tanto, ocurrirá lo mismo solo que \(x\) estará \(3\) unidades hacia la derecha.
Ya aprendimos la primera transformación, llamada traslación.
Conociendo el gráfico de \(y=f(x)\), el gráfico de \(y=f(x-c)\) es obtenido a partir del gráfico de \(f(x)\) desplazado \(c\) unidades a la DERECHA.
Usando la misma lógica, conociendo el gráfico de \(y=f(x)\), el gráfico de \(y=f(x+c)\) se obtiene a partir del gráfico de \(f(x)\) desplazado \(c\) unidades a la IZQUIERDA.
Recuerda que estamos usando \(c\) como una constante POSITIVA.
Transformaciones \(y=f(x)-c\) y \(y=f(x)+c\)
En este caso, estamos tanto sumando como restando una constante \(c\), solo que esta vez la constante está fuera del paréntesis. Veamos un ejemplo para entender cómo funciona.
La función está siendo sumada o restada \(c\) unidades, es decir, está cambiando el valor de \(y\) mientras que \(x\) se mantiene igual. ¿Qué quiere decir eso? Que el gráfico está subiendo o descendiendo, solo porque cambiamos el valor de \(y\).
Entonces, si nada más conocemos el gráfico de \(y=f(x)\) y queremos trazar el gráfico de \(y=f(x)+c\), solo tenemos que desplazar el gráfico de \(f(x)\) a \(c\) unidades hacia arriba.
Si quisiéramos trazar el gráfico de \(y=f(x)-c\) solo tenemos que desplazar el gráfico de \(y=f(x)\) a \(c\) unidades hacia abajo.
De nuevo, \(c\) es una constante POSITIVA.
Transformaciones \(y=f(-x)\) y \(y=-f(x)\)
Una vez más, vale la pena resaltar que cuando nos movemos dentro del paréntesis de la expresión \(y=f(x)\) estamos, en realidad, moviéndonos en el eje \(O X\).
Si cambiamos un valor fuera del paréntesis, estamos cambiando un valor en el eje \(O Y\).
Con eso en mente, ¿cómo hacemos que \(f(-x)\) a partir del gráfico de \(f(x)\)?
Si vamos del gráfico de \(f(x)\) al gráfico de \(f(-x)\), todo lo que era positivo en el dominio pasa a ser negativo, ¿cierto? Y todo lo que era negativo pasa a ser positivo, porque tiene un signo de menos delante. Es como si estuviéramos cambiando la orientación del eje \(O X\).
Repito, como si estuviésemos. Realmente no estamos cambiando la orientación, simplemente es un ejemplo para que se entienda mejor, el eje se queda donde está, pero es como si lo giráramos \(180^{\circ}\) en torno al eje \(O Y\), es decir, reflejamos todo alrededor de \(O Y\).
Veamos un ejemplo.
Observemos el gráfico de \(f(x)=\sqrt{x}\):
Como sabemos, la raíz cuadrada solo acepta valores positivos.
¿Y cómo sería el gráfico de \(f(x)=\sqrt{-x}\)? ¿No existe? De hecho si. Considerando la expresión \(-x\), ¿cuáles son los números se pueden poner dentro de la raíz para que esta de un resultado positivo? Exacto, todos los números negativos. Y su gráfico sería.
Es el gráfico anterior solo que “hacia el otro lado”.
Finalmente aprendimos: a trazar el gráfico de \(f(-x)\) a partir del gráfico de \(f(x)\), basta con girar el gráfico de \(f(x)\) en torno al eje \(O Y\).
Y para obtener el gráfico de \(-f(x)\), solo debes girar el gráfico de \(f(x)\) \(180^{\circ}\) grados en torno al eje \(O X\).
Transformaciones \(f(c x)\) y \(c f(x)\) en funciones trigonométricas
Existen dos transformaciones de funciones trigonométricas que son de mucha utilidad al momento de resolver ciertos ejercicios. Estas son \(f(c x) \space \text { y } \space c f(x)\).
Cuando aplicamos una transformación del \(f(c x)\) en una función, el periodo \(T\) del gráfico va a disminuir \(c\) veces, obedeciendo siempre a una regla, dada por:
\[T=\frac{2 \pi}{c}, \text {para seno, coseno y secante}\]
O:
\[T=\frac{\pi}{c}, \text {para la tangente}\]
¿Pero qué significa eso? Cada vez que multiplicamos el argumento de la función trigonométrica por un número \(c>1\), este se encogerá \(c\) veces en el eje \(x\). Si tuviéramos algo del tipo \(f\left(\frac{x}{k}\right)\), es decir, \(c=\frac{1}{k}\), la función también se estirara \(k\) veces en el eje \(x\).
Echémosle un vistazo a cómo se hace en la práctica para las principales funciones trigonométricas.
\[f(x)=\operatorname{sen}(3 x)\]
Ya sabemos como es el gráfico de la función seno, ¿verdad? Es algo así:
Como acabamos de ver, al multiplicar \(x\) por \(3\) en la función \(\operatorname {sen} (x)\) esta se “encoge” \(3\) veces en la dirección \(x\). Su periodo pasará a ser \(T=\frac{2 \pi}{3}\), ¿cierto? Y la función sería:
¡Uno más!
Trazo:
\[f(x)=\cos \left(\frac{x}{3}\right)\]
El coseno tiene características parecidas a las del seno. También sabemos que su gráfico es:
Como vimos, al dividir \(x\) por \(3\) en la función trigonométrica, esta se estirara \(3\) veces, pues su período pasará a ser:
\[T=\frac{2 \pi}{c}=\frac{2 \pi}{1 / 3}=6 \pi\]
Y el gráfico de la función será:
¿Qué ocurre en el caso de la tangente?
\[h(x)=\tan (2 x)\]
El procedimiento es el mismo, la única diferencia entre el seno y la tangente es que el período del seno es \(T=2 \pi / c\) mientras que el de la tangente es \(T=\pi / c\), pero de la misma forma al multiplicar \(x\) por \(2\) en la función trigonométrica, esa función se encogerá por la mitad en el eje \(x\). La función \(\tan (x)\) es dada por:
Haciendo la transformación en \(2 x\), es decir, encogiendo la función por la mitad, tenemos:
Por último pero no menos importante, tenemos la función secante:
\[f(x)=\sec \left(\frac{x}{2}\right)\]
Anteriormente vimos que el gráfico de la función secante es:
¡Fácil! Al hacer la transformación de la función \(f\) , estaremos estirando la figura dos veces, ¿verdad? Y su período sería el doble, pues:
\[T=\frac{2 \pi}{c}=\frac{2 \pi}{1 / 2}=4 \pi\]
Entonces, tendremos:
Luego de haber visto todos los ejemplos, podemos ver otro tipo de transformación: la del tipo \(c f(x)\)
Cuando tenemos una transformación \(c f(x)\), la figura se estira o encoge pero en el sentido del eje \(\boldsymbol{y}\).
En lugar del período, va a cambiar la imagen de la función, de la siguiente forma:
Tenemos una función trigonométrica cualquiera de imagen \([a, b]\). Al aplicar la transformación \(c f(x)\), la imagen será \([{ca},{cb}]\).
¿Simple, no? De esta forma, podemos apreciar que existe una diferencia entre las transformaciones que aprendimos.
Mientras que \(f(c x)\), cuando \(c>1\), encoge la función, para \({cf}(x)\),esta se estira. De la misma forma, si tuviéramos una transformación del tipo \(f(x) / k\), es decir, \(c=1 / k\), la imagen va a disminuir \(k\) veces, encogiendo la figura en la misma cantidad.
Veamos cómo se hace tanto para seno como para tangente, para el resto es análogo.
Primero, en un ejemplo con seno, tendremos:
\[f(x)=3 \operatorname{sen}(x)\]
Ya vimos el gráfico del seno, ¿no? Como acabamos de aprender, vamos a estirar la figura \(3\) veces en el eje \(y\). La imagen de \(\operatorname{sen}(x)\) es \([-1,1]\), luego de la transformación tendremos que la imagen de \(f\) será \([-3,3]\). Y su gráfico:
En el caso de la tangente no es distinto, sin embargo tenemos una peculiaridad. La imagen de la tangente es \((-\infty, \infty)\), aunque lo multipliquemos o dividamos por cualquier número, su imagen seguirá siendo \((-\infty, \infty)\). ¿Entonces no cambia nada? Si cambia, la figura seguirá siendo estirada o encogida.
\[f(x)=\frac{1}{3} \tan (x)\]
El gráfico de esa función será el de la tangente encogido tres veces.
Este será representado por:
Comparando con \(\tan (x)\):
Puedes apreciar la diferencia.
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