Función Afín
Introducción
Siempre que pensamos en funciones recordamos que: TODO elemento del dominio está relacionado a un ÚNICO elemento en el codominio.
Pero la manera en que estas relaciones suceden ocurre de forma distinta. Hablemos un poco sobre las funciones afín.
Las funciones afín siempre tienen la siguiente forma:
\[f(x)=x+2 \quad f(x)=-\frac{3}{2} x \quad f(x)=5 \quad f(x)=1.44 x-0.1 \pi\]
Es decir, son funciones que recuerdan mucho a polinomios de primer grado.
Eso significa que la función tendrá la siguiente forma:
\[f(x)=a x+b\]
Donde \(a\) y \(b\) son números reales. Es lo mismo que decir que:
\[y=a x+b\]
Importante: el valor de \(a\) no tiene que ser diferente de \(0\) para que sea una función afín, es decir, la función afín no es igual a la función de \(1^{er}\) grado. En la segunda, \(a\) debe ser diferente de cero.
No olvides ese detalle.
Dominio e Imagen
Como sabemos, el dominio es el conjunto de los valores que \(x\) puede asumir. Como la función afín tiene forma:
\[f(x)=a x+b\]
¿Pero qué podemos decir sobre el dominio y codominio?
Las funciones afín siempre van de reales en reales \((\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R})\), es decir:
Dominio: conjunto de los números reales. Codominio: conjunto de los números reales
Gráficos de la Función afín
Trazaremos un gráfico de una función afín para ver cómo funciona.
La función de primer grado es una recta, por tanto, para hacer su gráfico necesitamos dos puntos.
Como solo necesitamos dos puntos, podemos escoger cualquier valor de \(x\) para así obtener sus respectivos \(f(x)\), ¿verdad?
Veamos como es el gráfico de \(f(x)=x\). Escogiendo \(x=0\) y \(x=1\), tendremos:
\[f(0)=0 \quad f(1)=1\]
(Solo sustituimos el valor de \(x\) en \(f(x)\)).
Lo que corresponde a los pares ordenados \((0,0)\) y \((1,1)\). Por si no recuerdas, un par ordenado es un punto del tipo \((x, f(x))\) o \((x, y)\).
Podemos marcar esos puntos en el plano cartesiano.
Como sabemos que la función es una recta, simplemente podemos conectar los puntos y extender la recta hasta el infinito, porque el gráfico de la función continúa para siempre.
¿Y si “a” es igual a cero?
Por ejemplo, observa la función: \(y=2\)
Tenemos \(a=0\) y \(b=2\)
Vamos a armar una tabla para entender lo que va a pasar a medida que \(x\) va variando.
Así es, NADA. Independientemente de cuánto varíe \(x\), \(y\) continuará CONSTANTE.
Así es como vamos a llamar a las funciones que tienen \(a=0\): funciones constantes.
¿Cómo luce su gráfico?
Let’s go
Coeficientes angular y lineal
Cuando hablamos de los gráficos de las funciones afín, necesariamente está formados por rectas. Sin embargo, debes haber notado que cambiar tanto el valor de \(a\) como de \(b\) hace que el gráfico cambie.
El coeficiente \(a\) es responsable de cambiar el ángulo de la recta, por esta razón es llamado coeficiente ANGULAR.
¿Pero cómo funciona?
Observa la siguiente imagen
A medida que aumentamos el valor de a, aumentamos la inclinación. Tanto así, que cuando ponemos el valor de \(a\) negativo, la función será decreciente y para \(a\) positivo, la función será creciente.
Imagina la siguiente situación: te cansaste de estudiar y decides abrir un puesto de churros, el cual tiene un costo de servicios de \(\$ 100\) dólares (agua, luz, entre otros), que tendrás que pagar independientemente si vendiste churros o no, además el precio de cada churro es de \(\$ 0,50\) dólares.
Entonces, \(0,50\) será el coeficiente \(a\) y \(100\) el coeficiente \(b\).
La función será así:
\[f(x)=0,5 x+100\]
\(0,50\) va a representar un tasa de variación entre el costo \((y)\) y la cantidad de churros vendidos \((x)\)
Por tanto, podemos escribir \(a\) de la siguiente forma:
\[a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]
\[\textbf {Donde}: \ \Delta y \rightarrow \textbf {Variacion en } \space y \quad \Delta x \rightarrow \textbf{Variacion en } x\]
Para este caso, podríamos pensar lo siguiente:
\[a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{101-100}{2-0}=\frac{1}{2}=0,5\]
Podríamos decir que para cualquier \(\Delta y\), la razón entre esta y \(\Delta x\) correspondiente, sería \(0,50\).
Para cerrar, hablemos de \(b\).
Este será llamado coeficiente lineal, pues es el encargado de desplazar la recta hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo, si \(b=2\), subimos dos casillas en relación a \(b=0\), si fuese \(b=-2\) descendemos dos casillas. De esta manera:
Hallando \(a\) y \(b\)
Así como podemos trazar el gráfico de la recta con tan solo dos puntos cualquiera que pertenezcan a la función, también podemos hallar su expresión con la misma información.
Imagina que tenemos dos puntos \(0,0\) y \(1,2\), que sabemos que pertenecen a una función afín.
Si la función es afín, tiene la siguiente forma:
\[f(x)=a x+b\]
Sustituyendo el primer punto, tenemos:
\[f(0)=0 \Longrightarrow f(0)=a \cdot 0+b=0\]
\[b=0\]
Con el valor de \(b\) encontramos \(a\), sustituyendo el segundo punto:
\[f(1)=2 \Longrightarrow a \cdot 1+0=2\]
\[a=2\]
Entonces, la expresión será:
\[f(x)=2 x\]
Cuando uno de los puntos no es el orígen, tendremos un sistema, como cuando tenemos los puntos \((1,2)\) y \((2,4)\):
\[f(1)=2=a \cdot 1+b=>a+b=2\]
\[f(2)=4=a \cdot 2+b \Longrightarrow 2 a+b=4\]
Resolviendo el sistema:
\[a=2 ; b=0\]
Y por tanto:
\[f(x)=2 x\]
Raíz de una función e intersección con el eje \(y\)
A través de un ejemplo veremos la importancia de este concepto. La función es:
\[f(x)=2 x+6\]
Puede que en el exámen pregunten: encuentre los puntos donde la función corta los ejes \(x\) y \(y\).
Lo cual es lo mismo que decir.
Encuentre la raíz de la función (o cero de una función) y la intersección con el eje \(y\).
La función corta el eje \(x\), precisamente cuando \({y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})=0\). Por tanto, para hallar la raíz de la función, tenemos que encontrar la \(x\) que satisface dicha igualdad:
\[f(x)=0 \Longrightarrow 2 x+6=0\]
\[2 x=-6\]
\[x=-3\]
Que corresponde al par ordenado \((-3,0)\).
No es difícil. En el caso de la función afín, solo habrá una raíz o cero, porque es una recta. Pero otras funciones pueden tener más de una raíz o no tener ninguna.
Por otra parte, para hallar la intersección con el eje \(y\). Recuerda que la función corta este eje cuando \(x=0\). Después de todo, el eje \(y\) es la recta \(x=0\). Entonces, basta con definir el argumento \(x=0\) en la fórmula de la función:
\[f(0)=2 \cdot 0+6\]
\[f(0)=6\]
O sea, corresponde al par ordenado \((0,6)\). La función corta al eje \(y\) en \(y=6\).
¿Será una coincidencia?
No, no lo es. La función siempre cortará al eje \(y\) en el punto \((0,b)\). ¿Por qué?
Como la función afín siempre tendrá forma \(y=a x+b\), si colocamos \(x=0\), tendremos:
\[y=a \times 0+b\]
\[y=b\]
De vuelta al ejemplo, vamos a marcar los puntos en el plano cartesiano, conectarlos y el gráfico está terminado.
El signo
La función de primer grado tiene sólo una raíz (así como la segundo tiene dos, la de tercero tiene tres, y así sucesivamente) y el signo de una función polinómica solo cambia al pasar por la raíz. De tal forma, para saber cuando la función será positiva o negativa, solo tenemos que hallar su raíz y probamos su signo antes y después de esta.
En la función, \(f(x)=2 x+6\), tenemos cero en:
\[f(x)=0 \Longrightarrow 2 x+6=0 \Longrightarrow x=-3\]
Entonces, probamos un valor a la izquierda de este número (menor que él):
\[f(-5)=2 \cdot(-5)+6=-4<0\]
Y un valor a la derecha (mayor que él):
\[f(0)=2 \cdot 0+6=6>0\]
Obtuvimos un valor negativo cuando probamos para \(x<-3\) y un valor positivo cuando probamos \(x>-3\). Como la función solo puede cambiar de signo en la raíz, que es \(x=-3\), concluimos que la función es negativa hacia la izquierda de \(x=-3\) y positivo a la derecha de dicho valor.
¡Puedes usar el mismo procedimiento para saber el signo de cualquier función afín!😁
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