Ecuación modular

El módulo

Antes de hablar sobre ecuaciones modulares, tenemos que saber que es un módulo. Simple: cuando un número es positivo, el módulo es el número. En cambio, cuando es negativo, el módulo es igual al valor positivo del número.

\[|4|=4\quad|-3|=3\]

Para que la parte positiva sea igual cuando el argumento es negativo, se multiplica por \(-1\):

\[|-3|=(-1)(-3)=3\]

Eso es todo. El módulo es de mucha utilidad para definir la distancia. La distancia no está relacionada con ningún sentido ni puede ser considerada negativa, por esta razón es que el módulo da valores positivos. Por tanto, su valor será el módulo del número o su valor absoluto.

Observa que la distancia \(d\) es la misma tanto para \(1\) como \(-1\), de esta manera:

\[d=|1|=1\]

\[d=|-1|=(-1) \cdot(-1)=1\]

¿Entiendes? Siempre que un número sea positivo, su módulo será sí mismo, por el contrario, cuando sea negativo el módulo será menos sí mismo. Así:

\[|a|=\left\{\begin{array}{ccc}a & \text { si } & a \geq 0 \\ -a & \text { si } & a<0\end{array}\right.\]

Esa es la función del módulo.

Ecuación modular

A continuación, veremos cómo resolver ecuaciones con módulo. No tiene mucho misterio, tenemos un método que en ocasiones puede ser tedioso pero siempre funciona. 

Resolviendo por la definición

¿Qué es resolver por la definición? Es utilizar la definición del módulo para resolver una función. Veamos un ejemplo simple:

\[|x+3|=5\]

Primero, usaremos la definición de ese módulo:

\[|x+3|=\left\{\begin{array}{ccc}x+3 & \text { si } & x+3 \geq 0 \\ -(x+3) & \text { si } & x+3<0\end{array}\right.\]

Este análisis de signo es facil, solo mira:

\[|x+3|=\left\{\begin{array}{ccc}x+3 & \text { si } & x \geq-3 \\ -x-3 & \text { si } & x<-3\end{array}\right.\]

Vamos a resolver esta ecuación para cada intervalo.

Comenzando con \(x \geq-3\)

\[x+3=5\]

\[x=2\]

Este valor se encuentra en el intervalo que estamos viendo, entonces, la solución será:

\[x_{1}=2\]

\[x_{2}=-8\]

¿Entiendes la idea? Por supuesto que pueden ser más complejos, en los ejercicios veremos más casos. 

El otro método es menos tedioso, pero el proceso es el mismo. Volvamos a resolver el ejemplo:

\[|x+3|=5\]

Vamos a transformar esta ecuación en \(2\) diferentes:

\[x+3=5 \space\space\text { o }\space\space x+3=-5\]

\[x=2 \space\space\text { o }\space\space x=-8\]

El último paso es comprobar si los valores satisfacen a la ecuación

\[|2+3|=|5|=5\]

\[|-8+3|=|-5|=5\]

Bien, los dos valores funcionan, por tanto, terminamos el ejercicio. Simplemente tenemos que utilizar el valor del módulo, tanto para un número positivo como para un número negativo, y comprobar si el resultado satisface la ecuación. 

¿Recuerdas cuando mencioné que el módulo está relacionado con la distancia? Estaba hablando de esto:

\[|x-2|=3\]

¿Cuáles números cerca de \(2\) están a \(3\) unidades del mismo?. Normalmente pensamos en números enteros, entonces, utilizaremos una recta númerica:

Observa la recta, ¿qué números tienen \(3\) unidades de distancia de \(2\)?

¿Son los números: \(-1\) y \(5\), verdad? Pues están a tres espacios del \(2\)

De forma general, cuando te encuentres con:

\[|x-a|=r\]

Recuerda que se refiere a los números que distan \(r\) unidades de \(a\). Es decir, solo debes contar \(r\) espacios de \(a\) tanto a la izquierda como a la derecha. 

La solución será la unión de todas las soluciones que están dentro de sus respectivos intervalos. ¡Vamos a practicar!