Conjuntos Numéricos
¡Bienvenidos amigos! ¡Espero que estén genial!
En esta ocasión estudiaremos LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS.
Conjunto de los Números Naturales \((N)\)
¡Este es el primer conjunto que aprendes en tu vida! Así es, lo aprende de niño, cuando empiezas a contar objetos o cosas. Es decir:
\[N=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, \ldots\}\]
El conjunto de los número naturales es denotado por la letra \(N\) y sus características son: son números mayores o iguales a cero (estos son llamados no negativos) y son números enteros.
¿Cómo se ven escritos? Los conjuntos se ven de la siguiente manera:
\[A=\left\{n \in N \mid n \text { es par}\right\}\]
\[A=\{2 n \mid n \in N\}\]
Dentro de poco verás que estos conjuntos son iguales.
¡Algo más! Existen varias opiniones sobre si el \(0\) pertenece o no al conjunto de los naturales.
Nosotros consideramos al \(0\) como un elemento del conjunto, pero pregunta a tu profesor qué opina acerca de esto.
Conjunto de los Números Enteros \((Z)\)
Todo iba increíblemente bien, hasta que aparecieron los números negativos.
"¿Por qué ocurrió esto?"
Piensa: imagina que tienes 50 dólares y quieres comprar un libro de Cálculo que cuesta 120 dólares… Cuando vamos a comprar algo, siempre pensamos en cuánto dinero nos quedará, entonces hacemos la operación “lo que tengo” - “lo que gastaré”.
En ese caso, ¿cómo se obtiene esa operación si la cantidad que tienes es menor que la cantidad que vas a gastar? Complicado ¿verdad? Entonces vamos a crear números para eso. De ahí, tenemos el conjunto de los números enteros:
\[Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}\]
Los números enteros pueden ser negativos, neutro \((0)\) o positivos y se ven así:
\[A=\{n \in Z \mid n \geq-10\}\]
\[A=\{n \geq 10 \mid n \in Z\}\]
Tenga en cuenta que \(N \subset Z\), pues todos los elementos de \(N\) pertenecen al conjunto \(Z\)
Conjunto de los Números Racionales \((Q)\)
Este conjunto nos será mucha utilidad para ciertas cosas. Por ejemplo: me gustaría compartir mi helado contigo, pero solo tengo \(1\) bola.
Me gustaría que fuese imposible de dividir (porque me quedaría con todo 🤣), pero cuando se crearon los racionales, nació la división.
La característica de los números que pertenecen a este conjunto es:
\[\text {Es racional todo número que pueda ser escrito en forma } \frac { a } { b }\]
\[a \in Z, b \in Z \space \text { y }\space b \neq 0\]
Entonces el conjunto puede ser escrito de la siguiente forma:
\[Q=\left\{\frac{a}{b} \mid a \in Z, b \in Z^{*}\right\}\]
¿Viste la nueva notación?
\[Z^{*}= \text {conjunto de los números enteros sin el cero} =\{\ldots,-2,-1,1,2, \ldots\}\]
\[Z_{-}= \text {conjunto de los enteros con números no} - \text {positivos}=\{\ldots,-2,-1,0\}\]
\[Z_{+}= \text {conjunto de los enteros con números no} - \text {negativos} =\{0,1,2, \ldots\}\]
Podemos juntar esas notaciones:
\[Z_{-}^{*}=\{\ldots-3,-2,-1\}\]
\[Z_{+}^{*}=\{1,2,3, \ldots\}\]
En general, las fracciones son números racionales. Recuerda que el número decimal periódico es un número racional, porque se puede pasar al formato de fracción. Ejemplos:
\[\frac{1}{2}, 1,22222,1,3434,5\]
¡¿QUE?! ¿Cómo que el \(5\) es racional?
Pues lo és, todo número entero es racional. Mira:
\[24=\frac{24}{1}\]
\[5=\frac{5}{1}\]
Siempre podemos escribirlo de esta manera. ¡Listo!
Conjunto de los Números Irracionales \((R-Q)\)
¿Qué son los irracionales? Hasta ahora hemos visto que para ser racional un número debe ser escrito de esta forma \(\frac{a}{b}\), donde tanto \(a\) como \(b\) son enteros, y \(b\) diferente a cero.
Entonces te pregunto: ¿si no podemos escribir el número de esta forma? Quiero decir, debe existir un número que no se pueda escribir de esta manera. ¡Y realmente existe! Son llamados números irracionales. Algunos ejemplos:
\[\pi, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots\]
En general, decimos que los números decimales no periódicos son números irracionales. Mira un ejemplo:
\[1,2345125632 \ldots\]
Como puedes notar, ese número tiene decimales infinitos y no tiene periodo en en ellos, entonces es irracional. La notación es \(R-Q\) o \(I\). A continuación veremos quién es \(R\)
Conjunto de los Números Reales \(R\)
Finalmente llegamos al último, pero no menos importante, conjunto numérico: conjunto de los números reales.
“¿Cómo?¿Acaso los que hemos visto hasta ahora no son reales?”
Si lo son, solo que este es llamado así porque existe otro conjunto que lleva por nombre “Conjunto de los números complejos” (que involucra a los números imaginarios, no reales), pero no viene al caso.
El punto es que el conjunto de los números reales es una expansión de los racionales para también guardar a los irracionales. Entonces decimos que el conjunto de los números reales es la unión entre el conjunto de los racionales y el conjunto de los irracionales, observa:
Como puedes notar los naturales están contenidos en los enteros, que a su vez están contenidos en los racionales.
Notación de Conjuntos
Ya vimos los principales conjuntos, ahora aprenderemos a escribirlos de manera correcta. Existen dos formas: enumerativa y descriptiva (por extensión). Sin embargo, hablaremos de una que no hemos mencionado hasta ahora: la predicativa constructiva.
Es así: consiste en presentar los elementos de un conjunto a través de expresiones que involucren variables. En la práctica, nos encontramos con:
\[\{\text {expresión con variables} \mid \text {dominio de las variables}\}\]
Ejemplos:
\[\{2 n \mid n \in N\}=\{0,2,4,6,8, \ldots\}\]
O sea, tendremos la expresión antes de las barra y lo que hacemos es sustituir los valores que pertenecen al conjunto dado. Este conjunto que hacemos es el conjuntos de los números pares. Sabemos que para ser par, un número debe ser múltiplo de \(2\), que matemáticamente significa ser escrito en la forma \(2n\).
Para que un número sea divisible por \(3\), debe ser múltiplo del mismo y, por tanto, ser escrito de la forma
\[\{3 n \mid n \in N\}=\{0,3,6,9,12, \ldots\}\]
Ahora queremos escribir el conjunto de los números impares.
“¿Cómo lo hacemos?”
¡RECUERDA! Los números impares no son divisibles por \(2\). Y los impares se pueden escribir como un número par sumado a un número impar. Entonces:
\[\{2 n+1 \mid n \in N\}\]
“¿Ah, y por qué \(1\)?”
Bien, digamos que escogemos el número \(3\)
\[\{2 n+3 \mid n \in N\}\]
Entonces escribimos:
\[2 n+3=2 n+2+1=2(n+1)+1\]
Y obtenemos:
\[k=n+1 \rightarrow 2 k+1\]
Siempre llegamos al mismo sitio. Ya lo sabes, número impar de esta forma.
Imagina que tu profesor quiere que escribas el conjunto de los números que cuando se divide por \(15\) deja de resto \(11\). El proceso siempre es el mismo:
\[\{15 n+11 \mid n \in N\}\]
¡Eso es todo! ¡A los ejercicios!
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