Funciones Hiperbólicas

Introducción

Las funciones hiperbólicas son aquellas en las que aparece seno o coseno hiperbólico, y sus derivados:

\[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \quad \cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\]

Si sustituimos, encontramos:

\[\operatorname{senh}(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=\frac{0}{2}=0\]

Al igual que en las trigonométricas normales. La diferencia es que la relación entre los cuadrados tiene un signo menos en lugar de un signo más: 

\[\cosh ^{2}(x)-\operatorname{senh}^{2}(x)=1\]

Las otras identidades siguen siendo iguales:

\[\operatorname{tgh}(x)=\frac{\operatorname{senh}(x)}{\cosh (x)} \quad \operatorname{cotgh}(x)=\frac{\cosh (x)}{\operatorname{senh}(x)}=\frac{1}{\operatorname{tgh}(x)}\]

\[\operatorname{sech}(x)=\frac{1}{\cosh (x)} \quad \operatorname{cossech}(x)=\frac{1}{\operatorname{senh}(x)}\]

Dominio

Cuando tenemos una suma o resta de exponenciales que tiene dominio en el conjunto de los números reales, es de esperar que tanto \(\operatorname{senh} x\) como \(\operatorname{cosh} x\) también tenga dominio en los reales, ¿verdad? Si, sin embargo ninguno.

\[D\{\operatorname{senh} x\}=\mathbb{R} \quad D\{\cosh x\}=\mathbb{R}\]

Para las demás relaciones hiperbólicas, tenemos que tener cuidado con el punto cero, pues, sí aparece en el denominador, tendremos indeterminaciones y el punto no formará parte del dominio. Esto sucede para las funciones que tienen \(\operatorname{senh} x\) en el denominador, que es cero en el punto \(x=0\), como \(\operatorname{cotgh}(x)\) y \(\operatorname {cossech} (x)\):

\[D\{\operatorname{cotgh}(x)\}=\mathbb{R}-\{0\} \quad D\{\operatorname{cossech}(x)\}=\mathbb{R}-\{0\}\]

Para el resto, nada cambia:

\[D\{\operatorname{tgh}(x)\}=\mathbb{R} \quad D\{\operatorname{sech}(x)\}=\mathbb{R}\]

Imagen y gráficos

En el caso de la imagen, la cosa cambia. Olvida las relaciones trigonométricas, porque la imagen tanto del seno como del coseno hiperbólico no es limitada entre \(-1\) y \(1\).

Mirando nuevamente la definición para el seno, tenemos:

\[\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\]

Sabemos que en \(x=0\), la función vale cero, pero ¿qué ocurre cuando se aleja? Si \(x\) crece, la parte de \(e^{x}\) también crecerá, mientras:

\[e^{-x}=\frac{1}{e^{x}}\]

Va disminuyendo y aproximándose a cero. De esta manera, la función crecerá indefinidamente conforme \(x\) crece y la imagen abarca todos los número positivos. 

¿Pero si \(x\) disminuye? Ahí pasa lo contrario, \(e^{x}\) disminuye y \(e^{-x}\) crece, pero como tenemos el signo de menos delante del segundo término, la función se vuelve cada vez más negativa y la imagen también abarca todos los número negativos:

\[I m\{\operatorname{senh}(x)\}=\mathbb{R}\]

Esa idea nos lleva al gráfico:

Para el coseno, tenemos la suma de exponenciales, que son siempre positivas:

\[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\]

Independientemente de que lado tomemos a partir del origen, el coseno hiperbólico siempre aumentará y siempre será positivo. Vimos que para \(x=0, \cosh (0)=1\), ese es su menor valor. Entonces, la imagen será:

\[I m\{\cosh (x)\}=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 1\}\]

Esa idea nos llevará al siguiente gráfico:

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