Raíces
Introducción
Ya vimos que es un polinomio. Su forma general es:
\[P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\]
Donde \(n\) es un número natural. Ejemplos:
\[x^{2}+2 x+1\]
\[3 x^{4}+7 x\]
También vimos como obtener el valor numérico de un polinomio.
En este ocasión aprenderemos cómo hallar las raíces de un polinomio. Esto será de mucha utilidad para algunas aplicaciones que veremos en breve.
“¿Pero, quienes son las raíces? Solo conozco la raíz cuadrada”
Las raíces son los valores variables que hacen que el polinomio sea CERO. En términos matemáticos, queremos saber para cuales \(x\), es verdad que:
\[P(x)=0\]
A continuación, veremos un truco para encontrar las raíces racionales.
Búsqueda de raíces: inspección
Para encontrar raíces a través de una inspección, tenemos que escoger algunos valores que pensemos que pueden dar cero. O no necesitas hacerlo, pero existen números que a menudo funcionan:
Mira, queremos calcular la raíz de este polinomio:
\[x-1\]
Entonces, igualamos a cero:
\[x-1=0\]
\[x=1\]
Genial, queremos hacer lo mismo con el siguiente polinomio:
\[x^{2}-5 x+6\]
Hacemos:
\[x^{2}-5 x+6=0\]
Y luego aplicamos Bhaskara:
\[x=2 \text { o } x=3\]
Ahora, mira este de aquí:
\[x^{3}+x^{2}-x-1\]
Entonces. La búsqueda de raíces por inspección se aplica más en este caso, donde no tenemos una fórmula lista para resolver eso (si tenemos, pero es super complicada).
Bien, lo que queremos hacer es escoger valores que normalmente aparecen como raíces de un polinomio: \(-2,-1,0,1,2\).
Como puedes notar también escogimos números negativos, es importante considerarlos también. Probando:
\[x=-2 \rightarrow(-2)^{3}+(-2)^{2}-(-2)-1=-3\]
\[x=-1 \rightarrow(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)-1=0\]
\[x=0 \rightarrow 0^{3}+0^{2}-0-1=-1\]
\[x=1 \rightarrow 1^{3}+1^{2}-1-1=0\]
¡Genial, encontramos dos raíces! Es un gran avance.
“¡Ah, pero son tres!”
Sí, lo sé, pero con ese método, difícilmente podemos encontrarlas todas.
“Entonces, ¿para qué estamos viendo este método?”
De hecho, no siempre necesitamos todas las raíces, y de ser el caso, tenemos un método para reducir el grado del polinomio conociendo alguna de sus raíces, por tanto, es bueno conocer este método.
Búsqueda de raíces: Teorema de las Raíces Racionales
No siempre encontrar la raíz de un polinomio es un proceso sencillo, pero para hallarla, podemos usar otro método: el teorema de la raíz racional.
Considerando el polinomio general:
\[a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\]
Si pudiéramos representar las raíces del polinomio en forma \(p / q\), entonces, aseguramos que \(a_{n}\) es divisible por \(q\) y \(a_{0}\) es divisible por \(p\). Es contrario a lo que se puede pensar, el primer coeficiente es divisible por el denominador \(q\) y el último coeficiente es divisible por el numerador \(p\).
Entonces, aplicaremos eso al polinomio:
\[x^{4}-5 x^{2}+4\]
Recuerda que \(a_{n}\) es igual a \(1\), de esta manera, \(q=\pm 1\) para poder ser divisible. \(a_{0}\) es \(4\) y \(p=\pm 4,\pm 2 \pm 1\) para ser divisible. De esta manera, las posibilidades para \(p / q\) son:
\[\frac{p}{q}=\pm 4 ;\pm 2 ;\pm 1\]
Por tanto, tenemos \(6\) posibilidades y un máximo de \(4\) raíces, pues el polinomio es de grado \(4\). ¿Cómo podemos saber cuáles son ciertas? ¡Probando! Si da cero es raíz:
\[P(4)=(4)^{4}-5(4)^{2}+4=180 \neq 0\]
Entonces, esa no es un raíz:
\[P(-4)=(-4)^{4}-5(-4)^{2}+4=180 \neq 0\]
Tampoco es una raíz. Probemos las otras:
\[P(2)=(2)^{4}-5(2)^{2}+4=0\]
Entonces, es raíz. De la misma forma:
\[P(-2)=(-2)^{4}-5(-2)^{2}+4=0\]
También es raíz. Para las restantes:
\[P(1)=(1)^{4}-5(1)^{2}+4=0\]
Y:
\[P(-1)=(-1)^{4}-5(-1)^{2}+4=0\]
Por tanto, las raíces serían:
\[x_{1}=2 \quad x_{2}=-2 \quad x_{3}=1 \quad x_{4}=-1\]
Podemos hallar esas raíces haciendo la sustitución \(u=x^{2}\) para luego resolver como si fuera una ecuación de segundo grado. Muchas veces eso no será posible. De esta forma, es un método super útil para hallar raíces. No lo olvides, hasta ahora hemos hallado raíces RACIONALES, no irracionales.
En la práctica, sólo seleccionamos los divisores de \(a_{n}\) y los divisores de \(a_{0}\).
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de sus raíces. Por ejemplo:
\[x^{4}-5 x^{2}+4\]
Tiene raíces \(±2\) y \(±1\). Entonces podemos escribirlo como:
\[(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)\]
Si distribuimos:
\[(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)=\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}-1\right)=x^{4}-5 x^{2}+4\]
Llegaremos nuevamente al polinomio factorizado. Mira otro ejemplo:
\[2 x^{2}-10 x+12\]
Tiene raíces \(2\) y \(3\). Entonces, escribimos:
\[2(x-2)(x-3)\]
¿Viste la sutil diferencia? El término líder, es decir, el que acompaña a \(x^{2}\) es el \(2\), por tanto, tenemos que multiplicarlo desde afuera.
De forma general, tenemos:
Un polinomio general:
\[P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\]
Con raíces:
\[x_{n} ; x_{n-1} ; x_{n-2} \ldots ; x_{1}\]
Podemos escribirlo en la forma:
\[P(x)=a_{n}\left(x-x_{n}\right)\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_{n-2}\right) \ldots\left(x-x_{1}\right)\]
Para una raíz \(x=x_{i}\) cualquiera, el factor será:
\[\left(x-x_{i}\right)\]
¡Con el signo menos adelante! Justamente para que, cuando \(x=x_{i}\):
\[\left(x_{i}-x_{i}\right)=0\]
También puedes ver que, si eso es verdad, un polinomio siempre es divisible, o sea, sin resto, por el monomio de su raíz. Pues:
\[\frac{\left(x-x_{n}\right)\left(x-x_{n-1}\right)\left(x-x_{n-2}\right) \ldots\left(x-x_{1}\right)}{\left(x-x_{n-1}\right)}=\left(x-x_{n}\right)\left(x-x_{n-2}\right) \ldots\left(x-x_{1}\right)\]
Es decir:
\[x^{2}-5 x+6\]
Puede ser escrito como:
\[(x-2)(x-3)\]
Entonces, si queremos dividir el polinomio por \(x-2\):
\[\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\]
O sea, nunca deja resto.
Esto es válido para todas las raíces del polinomio. ¿Todo claro? ¡Vamos a los ejercicios!
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