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Calculisto

Intervalos

¡Bienvenidos! ¡No puedo creer que estamos aquí!

 

Ya vimos los conjuntos más importantes, pero sobretodo, vimos el “Conjunto de los Números Reales”, por lo que toca hablar de los intervalos. 

 

Los intervalos son conjuntos, pero conjuntos que solemos representar en un recta: la famosa RECTA REAL. Mirala:

 

 

Aquí colocamos todos los términos, de menor a mayor. Ten en cuenta que la recta es infinita ¿si? Existen muchísimos negativos antes del \(-5\) y muchísimos positivos después del \(5\), solo que sería imposible colocar todos los números en esa recta.

 

No te equivoques, se que aparentemente no tiene números irracionales, pero en realidad, si están en la recta. Por ejemplo, \(\pi\) está entre el 3 y el 4, solo que no lo colocamos porque es indiferente.

 

Intervalo cerrado

 

¡Y comenzamos con uno de los tipos de intervalos! Imagina tener el siguiente conjunto:

 

\[A=\{x \in N \mid 2 \leq x \leq 3\}\]

 

Me dirás que se trata de un conjunto de \(A=\{2,3\}\), porque no existe un número natural entre \(2\) y \(3\); toca decirte que estás en lo correcto. 

 

El siguiente conjunto es:

 

\[A=\{x \in R \mid 2 \leq x \leq 3\}\]

 

¡La cosa se puso interesante! ¿Dirías que ese conjunto guarda a TODOS los números entre \(2\) y \(3\), incluyendo racionales e irracionales? Son muchos números, entonces sería imposible colocarlo de forma enumerativa, pero podemos representarlo en la recta. Observa:

 

 

“Espera, ¿qué significan esas pelotitas?”

 

Esas pelotitas sirven para delimitar el intervalo, note que \(2 \leq x\), es decir, \(2\) es el menor valor que \(x\) asume, así como \(3\) es el mayor. Y en medio tiene ese signo para decir que \(x\) puede ser cualquier valor de allí también.

 

Llamamos a esa pelotita como “pelota cerrada” y siempre será así cuando tengamos \(\leq o  \geq\)

 

El intervalo es tan importante, que tiene su propio lenguaje, ese conjunto en notación de intervalos luce así:

 

\[A=\{x \in R \mid 2 \leq x \leq 3\}=[2,3]\]

 

Utilizamos \([o ]\) para indicar el intervalo cerrado en un número (es decir, la pelota cerrada).

 

De forma general:

 

\[A=\{x \in R \mid a \leq x \leq b\}=[a, b]\]

 

Donde \(a\) y \(b\) son cualquier número, pueden ser hasta los más feos como \(\pi\)  o  \(\frac{123}{34}\). \((a \in R, b \in R)\)

 

Intervalo abierto

 

Tenemos el siguiente conjunto:

 

\[A=\{x \in N \mid 2<x<3\}\]

 

Y dirás que se trata de un conjunto vacío. No existe natural entre \(2\) y \(3\). 

 

Y ahora tenemos el siguiente:

 

\[A=\{x \in R \mid 2<x<3\}\]

 

Bien, este conjunto guarda justamente los racionales e irracionales entre \(2\) y \(3\)...¡No se puede enumerar eso, pues son números infinitos! Pero lo podemos representar en la forma de intervalo, mira el gráfico:

 

 

¡Wow! En este tipo de intervalo nos encontremos con cambios significativos, tenemos una pelota que llamamos “pelota abierta” ¿Por qué es abierta?

 

Porque tenemos una desigualdad del tipo \(< o >\). Tenemos el mismo signo entre \(2\) y \(3\) para representar todos los racionales e irracionales que están entre ellos. En notación de intervalos, esto luce así:

 

\[A=\{x \in R \mid 2<x<3\}=(2,3) \space\text {  o  }\space] 2,[3\]

 

En los intervalos abiertos, podemos utilizar los paréntesis para indicar que es abierto O usamos los corchetes, solo que deben de estar de espaldas a los números que tienen bolas abiertas.

 

De forma general:

 

\[A=\{x \in R \mid a<x<b\}=(a, b) \text { o }] a, b[\]

 

Juntando los dos tipos de intervalos 

 

Prepárate, que la cosa se pondrá interesante. Juntaremos los dos tipos de bolas (abierta y cerrada) en un mismo intervalo. Observa:

 

\[A=\{x \in R \mid 2<x \leq 3\}\]

 

Paso 1: dibujar la recta real conteniendo los extremos del intervalo:

 

 

Paso 2: colocar el signo entre los extremos:

 

 

Paso 3: rellenar los extremos con la pelota abierta \((<o >)\) o cerrada \((\leq o \geq)\)

 

 

Paso 4: escribir en notación de intervalos:

 

\[A=(2,3] \text { o }] 2,3]\]

 

Un ejemplo más:

 

\[A=\{x \in R \mid x \leq 3\}\]

 

¡Espera! ¡Esto es nuevo! Esta vez, no tenemos el otro extremo. Pero piensa: si \(x\) es cualquier número menor que \(3\), eso quiere decir que este puede ser \(2,1,0,-1,-2,-3, \ldots\)

 

Vamos a dibujarlo en la recta: 

 

 

En notación de intervalos:

\[A=(-\infty, 3] \text { o }]-\infty, 3]\]

 

¡ATENCIÓN! Cada vez que tengamos \(\pm \infty\) en el intervalo, el intervalo tiene que ser abierto por esa parte. Nunca escribas \(\infty]\) o  \([\infty\), pues es incorrecto. Debes poner \((\space o \space )\) o los corchetes. 

 

Otro ejemplo:

 

\[A=\{x \in R \mid x>2\}\]

 

Representado en la recta: 

 

 

Escribiendo en notación de intervalos:

 

\[A=(2, \infty) \space o \space ] 2, \infty[\]

 

En el tema anterior (conjuntos) vimos que cada vez que tenemos \(“ \space o\space”\), se trata de una unión. Vamos ubicarlos en la recta:

 

 

Como puedes notar son partes disjuntas (no tienen ningún número en común), entonces su notación es:

 

\[A=[1,0] \cup(2,3] \text { o }[1,0] \cup] 2,3]\]

 

Observa el siguiente conjunto:

 

\[A=\{x \in R \mid-1 \leq x \leq 4 \text { o } 2<x \leq 3\}\]

 

En la recta 

 

 

Puedes apreciar que si unimos los dos, todos los elementos de la línea de arriba pasan a ser miembros de la línea de abajo. Entonces obtenemos:

 

\[A=[-1,4]\]

 

Esas líneas en la recta tienen números en común; esos números en común representan la intersección de los intervalos.

 

\[(2,3] \cap[-1,4]=(2,3]\]

 

Los números en común son aquellos a partir de \(2\) (pero no son \(2\)) y llegan hasta \(3\).

 

Último ejemplo (en serio):

 

\[A=\{x \in R \mid 1 \leq x \leq 4 \space \text { о } \space 2<x \leq 5\}\]

 

Observa la recta (utilizamos rectas separadas para que se entienda con claridad, pero en la práctica, los intervalos se representan juntos)

 

 

En notación de intervalos:

 

\[A=[1,4] \cup(2,5]=[1,5]\]

 

\[[1,4] \cap(2,5]=(2,4]\]

 

Recuerda: solo hablamos de intervalos cuando estamos en la recta real (usando números reales)

 

¡Vamos a los ejercicios!

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