Fundamentos de la Lógica y Lenguaje Matemático

Implicación 

Este conectivo, representado por \(\Rightarrow\), es el más importante. Debes estar cansado de ver: 

\[p \Rightarrow q\]

En el que leemos “\(p\) implica \(q\)”

Es aquel que expresa una relación de implicación, pero no de causa-efecto, este solo establece una relación entre los valores lógicos de la implicación y los valores lógicos de \(p\) y \(q\).

En esta relación, \(p\) es llamada hipótesis o premisa y \(q\) es la tesis o conclusión.

Mira un ejemplo:

\[\text {“Si 6 es par, entonces un triángulo isósceles tiene dos lados iguales”}\]

Si adoptamos:

\[p=6 \text { es par}\]

\[q=\text {un triángulo isósceles tiene dos lados iguales}\]

La proposición es:

\[p \Rightarrow q\]

Esa implicación es verdadera, pues tanto \(p\) como \(q\) son verdaderas. Tenga en cuenta que no tiene nada que ver una cosa con la otra. Sólo juzgamos la flechita, basándonos en la hipótesis y la tesis. 

Observa este ejemplo:

\[\text{“Si 2 es impar, entonces }\space 2+5=3 "\]

Aunque no lo creas, ¡es verdadero! ¿Sabes por qué?

Tanto la hipótesis como la tesis son falsas, eso quiere decir que la implicación es verdadera. Mira la tabla de verdad:

La única forma de que la implicación sea falsa es si la hipótesis es verdadera y la tesis es falsa.

¿Y cómo luce la negación de eso?

\[\text {La negación de } p \Rightarrow q \text{ es } p \wedge \text {no }(q)\]

Recíproca, contraposición, inversa y relación de equivalencia

Conozcamos a los parientes de la implicación. Dada una implicación del tipo:

\[p \Rightarrow q\]

\[\text {recíproca}: q \Rightarrow p\]

\[\text {contraposición} : \text {no} (q) \Rightarrow \text {no} (p)\]

 \[\text {inversa}: \text {no } (p) \Rightarrow \text {no } (q)\]

Y te adelanto lo siguiente: la implicación es equivalente a la contraposición. ¿Cómo podemos saber eso? Siempre podemos decir que dos proposiciones compuestas son equivalentes si estas poseen la misma tabla de verdad. Mira la tabla: 

Observa que los valores verdad de las últimas columnas son iguales, entonces son equivalentes. 

Échale un vistazo a la tabla con las tres proposiciones que acabamos de ver:

Note que la recíproca y la inversa son equivalentes, pues sus tablas de verdad son iguales (fijate en la última columna)

Finalmente, el conectivo

\[p \Leftrightarrow q\]

Es llamado bicondicional o doble implicación. Y se lee como “p si y solamente si q”.

Para decir si es verdad o no, basta que \((\mathrm{p} \Rightarrow \mathrm{q}) \wedge(\mathrm{q} \Rightarrow \mathrm{p})\) sea verdad.

Ejemplo:

\[x^{2} \text{ es racional si, y solamente si, } x \text { es racional}\]

\[p=x^{2} \text { es racional}\]

\[q=x \text { es racional}\]

Veamos si la implicación es verdadera:

\[\text {Si } x^{2} \text {es racional, entonces } x \text {es racional}\]

Eso no es verdad, pues \(x=\sqrt{2}\) es irracional y \(x^{2}\) es racional. No es necesario hacer la recíproca, debido a que ya sabemos que la bicondicional es falsa. 

Decimos que \(p\) es la condición suficiente para \(q\) si \(p \Rightarrow q\) es verdadera y decimos que es la condición necesaria para \(q\) si \(q \Rightarrow \mathrm{p}\) es verdadera. En el caso de la bicondicional, es decir, la implicación y la recíproca son verdaderas, decimos que \(p\) es una condición necesaria y suficiente para \(q\).

Aquí está una tabla con todos los conectivos y cuantificadores que hemos visto hasta ahora:

Múltiples Cuantificadores

Ya vimos los cuantificadores \(\exists\) y \(\forall\), pero no los hemos visto juntos. Llegó la hora de juntarlos y ver que resulta. 

Te aviso que el ORDEN IMPORTA. Entonces cada vez que te encuentres con algo así:

\[\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} \mid y=x^{2}\]

Presta atención en quién está apareciendo primero. Traduzcamos eso al español: “Para todo número real \(x\), existe un número real \(y\) tal que \(y=x^{2}\)”.

Eso es verdad. Cualquier número que tomes \(x\), elevalo al cuadrado, \(x^{2}\) también será un número real, que llamaremos \(y\).

Ahora vamos a invertir esto:

\[\exists y \in \mathbb{R} \mid \forall x \in \mathbb{R}, y=x^{2}\]

Traducido al español: “Existe un número real \(y\) tal que para todo número real \(x\), \(y=x^{2}\). Esto no es cierto. Es decir, si escogemos un número real \(y\), puede ser \(3\) o cualquier otro. Dime, ¿es verdad que PARA TODO Y CUALQUIER \(x\) real, \(x^{2}=3\)?

No es verdad, podemos decir que \(x=0 \rightarrow x^{2}=0 \neq 3\). Y salió mal no porque escogimos el \(3\), sino porque no funcionará con ningún número.

En esta última parte, aprenderemos a negar esas estructuras. Recuerda: “tal que” se convierte en una coma y viceversa.

\[\neg\left(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R} \mid y=x^{2}\right)\]

\[\neg(\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}), \neg\left(y=x^{2}\right)\]

\[\exists x \in \mathbb{R} \mid \forall y \in \mathbb{R}, y \neq x^{2}\]

Cambia \(\forall\) por \(\exists\) y viceversa. Genial, ¿verdad? ¡Vamos a los ejercicios!