Teoría de la Demostración
En esta ocasión estudiaremos la “Teoría de la demostración”.
“Ah, pero nunca utilizaré eso, eso es para quien estudia matemáticas, para quienes quieren ser investigadores”
No. Todos podemos y debemos aprender a demostrar algo, pues forma parte de la construcción del razonamiento, es importante para nuestras vidas aprender a “juntar los puntos”, es decir, crear una línea de pensamiento.
“Pero, ¿para que demostrar algo? Es aburrido”
El motivo principal es que nuestra intuición falla. A veces, las cosas siguen un patrón que indica que se comportan de una manera determinada, pero puede que no se comporten así.
Y en la historia de la matemática, varios ejemplos demostraron y convencieron a los matemáticos que la intuición no es suficiente para comprender los hechos matemáticos. No los vamos a citar, porque tomaría muchísimo tiempo. ¡En fin, manos a la obra!
Métodos de demostración
¡Atención! Cuando estemos trabajando con demostraciones, tendremos que utilizar las siguientes definiciones:
- Un número entero no nulo \(a\) divide un número entero \(b\) si existe un entero \(k\), tal que: \(b=a k\). Es decir, siempre que nos encontremos con \(“a\) divide \(b”\) o \(“b\) es divisible por \(a”\), significa que \(b=a k\)
- Un número entero \(a\) es par si \(2\) divide \(a\), es decir, si existe un número entero \(k\) tal que \(a=2 k\)
- Un número entero \(b\) es impar si \(2\) no divide \(b\), en ese caso podemos probar que existe un número entero \(k\) tal que \(b=2 k+1\)
- Un número real \(r\) es racional si existen números enteros \(p, q\) con \(q \neq 0\), tal que \(r=\frac{p}{q}\)
- Un número real \(r\) es irracional si no es racional, es decir, si no existen enteros \(p, q\) con \(q \neq 0\), tal que \(r=\frac{p}{q}\)
No te preocupes, parecen muchas, pero con el tiempo y uso se volverá algo natural.
Método de la Demostración Directa
Bien, así como el nombre mismo este método es: bastante directo. Nos encontramos con una petición de “demuestre que” involucrando una \(p \Rightarrow q\). Por esta razón es directo, a través de \(p\), utilizando los términos hasta llegar a \(q\). Presta atención al ejemplo:
\[\text {Demuestre que si } n,\space m \text { son números impares, entonces } m+n \text { es par.}\]
En la hipótesis, tenemos dos hipótesis menores:
Hipótesis \(1\): \(n\) es impar
Hipótesis \(2\): \(m\) es impar
Tesis: \(m + n\) es par
Basados en la hipótesis \(1\), podemos escribir:
\[n=2 k_{1}+1\]
Donde \(k_{1}\) es un número entero.
Basados en la hipótesis \(2\), podemos escribir:
\[m=2 k_{2}+1\]
Donde \(k_{2}\) es un número entero.
No olvidemos el foco, la tesis. Queremos decir que la suma es par, entonces queremos llegar a la siguiente ecuación: \(m+n=2 k\). Vamos a utilizar la ecuaciones que tenemos para llegar ahí:
\[m+n=2 k_{2}+1+2 k_{1}+1\]
\[m+n=2 k_{1}+2 k_{2}+2\]
\[m+n=2\left(k_{1}+k_{2}+1\right)\]
Si llamamos \(k_{1}+k_{2}+1=k\):
\[m+n=2 k\]
Por tanto, la suma es realmente par, como queríamos demostrar.
∎
Al terminar una demostración podemos dibujar ese cuadradito al final.
Método de Demostración por reducción al absurdo
Este es el método más famoso, también conocido como demostración por contradicción. Ejemplo:
\[\text {Demuestre que }\sqrt{2} \text { es irracional}\]
Para demostrar eso, utilizaremos el método por reducción al absurdo. Lo que hacemos es intentar probar lo contrario a eso y así llegar a una contradicción. ¡Vamos a allá!
Comenzamos diciendo que \(\sqrt{2}\) es racional. Bien, si es racional, podemos escribir lo siguiente:
\[\sqrt{2}=\frac{p}{q}\]
Con \(p\) y \(q\) enteros y \(q \neq 0\). Elevando ambos lados al cuadrado:
\[2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\]
Suponemos que tanto \(p\) como \(q\) son pares, pues si lo fueran, podríamos simplificar la fracción hasta que al menos uno de los términos sea impar. Recuerda, NO son pares al mismo tiempo.
Ajustando los términos:
\[2 q^{2}=p^{2}\]
Si \(p^{2}\) es par (ya que es el doble de \(q^{2}\)), significa que \(p\) es par, entonces podemos sustituir \(p=2 l\). ¿De acuerdo?
\[2 q^{2}=(2 l)^{2}\]
\[2 q^{2}=4 l^{2}\]
\[q^{2}=2 l^{2}\]
¡Wow! Llegamos a la conclusión de que \(q^{2}\) es par, dado que es el doble de \(l^{2}\), y por tanto, \(q\) es par. Al inicio supusimos que \(p\) y \(q\) NO eran pares, eso es un absurdo.
Por tanto, \(\sqrt{2}\) es irracional, como queríamos demostrar.
∎
Demostración por contraposición
En este método buscamos demostrar algo equivalente a lo que se pide.
Es decir, si nos piden demostrar algo así \(p \Rightarrow q\), podemos probar una proposición equivalente a eso, ¿recuerdas cuál?
Haremos la demostración de \(\text {no }q \Rightarrow \text {no } p\). Presta atención al ejemplo:
\[\text {Demuestre que si } n^{2} \text { es impar, entonces } n \text { es impar}\]
Vamos a demostrarlo utilizando el método de la contraposición. En el caso actual es:
\[n^{2}\text { es impar} \Rightarrow n \text { es impar}\]
La contraposición será:
\[n \text { es par} \Rightarrow n^{2} \text { es par}\]
¡Probemoslo!
Hipótesis: \(n\) es par
Tesis: \(n^{2}\) es par
Entonces, a partir de la hipótesis, intentaremos llegar a la tesis. Sabiendo que \(n\) es par, podemos escribir:
\[n=2 k\]
Donde \(k\) es un número entero.
Vamos a elevar ambos lados al cuadrado:
\[n^{2}=4 k^{2}\]
\[n^{2}=2\left(2 k^{2}\right)\]
Si llamamos \(2 k^{2}=k_{1}\)
\[n^{2}=2 k_{1}\]
Es decir, \(n^{2}\) es par, como queríamos demostrar.
∎
Como puedes notar demostramos algo que no fue lo solicitado, aunque en realidad lo es. Demostramos un proposición que es equivalente.
Demostración de “si y solamente si”
En realidad este es el método directo, solo que con dos proposiciones compuestas. Recuerda, encontramos una demostración así:
\[p \Leftrightarrow q\]
Y ahí vamos a demostrar lo siguiente:
\[p \Rightarrow q\]
\[q \Rightarrow p\]
Ejemplo:
\[\text {Dos enteros } a \text { y } b, \text { poseen igualdades diferentes si, y solamente si, } a+b \text { es impar}\]
Para probar eso, tenemos que probar:
- \(\text {Si } a \text { y }b \text { poseen igualdades diferentes}, \text {entonces } a +b \text { es impar}\)
- \(\text {Si } a+b \text { es impar, entonces } a \text { y } b \text { tienen igualdades diferentes}\)
Vamos a comenzar con la implicación \(1\):
Hipótesis: \(a\) y \(b\) tienen igualdades diferentes.
Tesis: \(a+b\) es impar
Basados en la hipótesis, podemos decir que \(a\) es par y \(b\) es impar, o al contrario, no tiene diferencia.
\[a=2 k_{1}\]
\[b=2 k_{2}+1\]
Sumemos los dos para verificar si la suma es impar o no:
\[a+b=2 k_{1}+2 k_{2}+1\]
\[a+b=2\left(k_{1}+k_{2}\right)+1\]
Llamando \(k=k_{1}+k_{2}\):
\[a+b=2 k+1\]
Por tanto, la implicación \(1\) es verdadera.
Para probar la implicación \(2\), utilizaremos el método de la contraposición. Es decir, en lugar de probar, “\(\text {Si } a+b \text { es impar, entonces } a \text { y } b \text { tienen igualdades diferentes}\)”, vamos a probar:
\[\text {Si } a \text { y } b \text { tienen las mismas igualdades, entonces } a+b \text { es par}\]
Vamos allá. Si \(a\) y \(b\) tienen las mismas igualdades, eso significa que ambos son pares o ambos son impares.
Caso \(a\) y \(b\) pares:
\[a=2 k_{1}\]
\[b=2 k_{2}\]
\[a+b=2 k_{1}+2 k_{2}\]
\[a+b=2\left(k_{1}+k_{2}\right)\]
Llamando \(k_{3}=k_{1}+k_{2}\):
\[a+b=2 k_{3}\]
Entonces, es verdad.
Caso \(a\) y \(b\) impares:
\[a=2 k_{1}+1\]
\[b=2 k_{2}+1\]
\[a+b=2 k_{1}+2 k_{2}+2\]
\[a+b=2\left(k_{1}+k_{2}+1\right)\]
Llamando \(k_{3}=k_{1}+k_{2}+1\):
\[a+b=2 k_{3}\]
Entonces, es verdad.
Y por tanto, las implicaciones \(1\) y \(2\) son verdaderas, como queríamos demostrar.
∎
Como pudiste notar en el método “si, y solo si” se separa en dos implicaciones. Para probar esas implicaciones, podemos utilizar los otros métodos que vimos, como acabamos de hacer, usando el método de la contraposición.
¡Eso todo, vamos a los ejercicios!
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