Reducción de Grado - Regla de Ruffini
Introducción
Los polinomios tienen esta forma:
\[P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\]
Donde \(n\) es un número natural.
Ya sabemos como obtener el valor numérico de un polinomio. Lo que haremos en esta ocasión es dividir, factorizar y hallar las raíces de los polinomios.
Ya vimos algo así:
\[\frac{x^{2}-1}{x+1}\]
Y lo primero que hacíamos era intentar encontrar algún producto notable para simplificar, de esta manera:
\[\frac{x^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\]
Bien. Pero si encontramos algo así:
\[\frac{x^{2}-1}{x+2}\]
Esta vez no podemos simplificar nada. Sin embargo, existe una forma de resolver esto.
División de polinomios por Ruffini
Vamos a resolver el siguiente polinomio:
\[\frac{2 x^{5}-3 x^{2}-2 x-3}{x-1}\]
Este método al igual que la división de números nos dará: un cocienciente y un resto. Podemos escribir el polinomio \(P(x)\) de la siguiente forma:
\[P(x)=Q(x) D(x)+R(x)\]
Donde cada término significa:
\[P(x)=2 x^{5}-3 x^{2}-2 x-3\]
\[D(x)=x-1\]
\[Q(x)= \text {cociente a encontrar}\]
\[R(x)= \text {resto a encontrar}\]
Para hacer la división del ejemplo, utilizaremos la regla de Ruffini: este método es bastante simple, lo haremos paso a paso:
Paso 1: Armar el cuadro
Primero, vamos a trazar un cuadro de la siguiente manera:
En la parte superior izquierda, colocamos el valor en el que el denominador es igual a cero, es decir:
\[x-1=0 \Longrightarrow x=1\]
En la parte superior derecha, colocamos los coeficientes del polinomio en el numerador, sin obviar los ceros:
\[2 x^{5}-3 x^{2}-2 x-3 \Longrightarrow 2 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}-3 x^{2}-2 x^{1}-3 x^{0}\]
Paso 2: multiplicar y sumar
Repita el primer coeficiente de la parte superior derecha en la parte inferior:
Y multiplique el número por el coeficiente en la parte superior izquierda:
\[1 \cdot 2=2\]
Sume, entonces, el resultado con el coeficiente a la derecha y ponga el resultado abajo del mismo:
\[1 \cdot 2+0=2\]
Paso 3: repita
Repita el proceso hasta llegar al término que está debajo del último coeficiente. Ese será el resto de la división:
\[2 \cdot 1+0=2\]
Nuevamente:
\[2 \cdot 1-3=-1\]
\[-1 \cdot 1-2=-3\]
Nuevamente:
\[-3 \cdot 1-3=-6\]
Finalmente:
El último término en morada es el RESTO \(R(x)\) de la división. Lo que falta es encontrar el resultado. Tomamos cada uno de los coeficientes de la parte inferior derecha a excepción del morado y armamos un polinomio con un grado menos que el que dividimos.
Como el que dividimos tiene grado \(5\), este tendrá grado \(4\):
\[2 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}-x-3\]
Entonces tenemos lo siguiente:
\[Q(x)=2 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}-x-3\]
\[R(x)=-6\]
¡Listo!
Si quieres comprobar si el resultado es correcto, verifica con la siguiente igualdad:
\[2 x^{5}-3 x^{2}-2 x-3=(x-1)\left(2 x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}-x-3\right)+(-6)\]
Teorema del resto
El teorema del resto es un teorema que permite hallar el resto de una división de polinomios sin siquiera dividir. También es una excelente herramienta para comprobar el resultado de una división. En general, el teorema es bastante simple.
Si dividimos un polinomio \(P(x)\) por \(x-a\), entonces el resto será \(P(a)\), es decir, el resto será dado por el valor del polinomio original evaluado en el punto donde el denominador es igual a cero. Para el ejemplo anterior, tenemos que:
\[\frac{2 x^{5}-3 x^{2}-2 x-3}{x-1}\]
Tenemos que el resto será:
\[R(x)=P(1)=2(1)^{5}-3(1)^{2}-2(1)-3=2-3-2-3=-6\]
Que coincide con el resultado encontrado por la regla de Ruffini.
\[R(x)=-6\]
Considerando la división:
\[\frac{P(x)}{x-a}\]
El resto \(R(x)\) de la división será:
\[R(x)=P(a)\]
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