Funciones Pares e Impares, Crecimiento y Decrecimiento

Funciones pares e impares

Si, las funciones también pueden ser clasificadas como pares o impares. Así mismo, existen otras que no siguen la clasificación de pares e impares.  

A pesar de que la paridad de las funciones está ligada a la paridad de los números naturales en funciones polinómicas, es mejor asociar el término a la simetría. 

Es por eso que decimos que una función es par si esta es simétrica en relación al eje \(\boldsymbol{y}\), o al eje vertical, como podemos ver en la siguiente gráfica:

La función a la izquierda del eje vertical es igual a la función a la derecha del eje vertical. Algebraicamente, eso significa que:

\[f(x)=f(-x)\]

Es decir, tanto si el argumento es positivo o negativo. Son ejemplos:

\[f(x)=x^{2} \quad g(x)=|x|\]

El primer caso no es difícil de demostrar. Observa:

\[f(-x)=(-x)^{2}=[(-1) x]^{2}=(-1)^{2} x^{2}=x^{2}=f(x)\]

Las funciones impares, a su vez, son simétricas respecto al origen \((0,0)\), como la función cúbica:

En este caso, algebraicamente, tenemos:

\[f(-x)=-f(x)\]

Estos son buenos ejemplos de funciones impares:

\[f(x)=x^{3} \quad f(x)=5 x\]

Para el primer caso, observa que:

\[f(-x)=(-x)^{3}=[(-1) x]^{3}=(-1)^{3} x^{3}=-x^{3}=-f(x)\]

Por último, para aquellas funciones que no siguen la clasificación de simetría. Como:

\[f(x)=x+1\]

Donde:

Que no tienen simetría ni con el eje \(y\) ni con el origen.

Crecimiento y decrecimiento de una función

¿Como una persona se hace rica? Cuando la cantidad de dinero en su cuenta aumenta a medida que pasa el tiempo ¿Y pobre? es cuando la cantidad de dinero en su cuenta disminuye conforme pasa el tiempo. 

En el primer caso, la cantidad de dinero crece mientras que en el segundo, decrece. Con las funciones no es distinto. Una función \(f(x)\) es creciente cuando su valor aumenta conforme \(x\) aumenta, y es decreciente cuando su valor disminuye conforme \(x\) aumenta. 

Gráficamente, ser creciente significa que la función se aproxima cada vez más a la parte superior del gráfico conforme \(x\) se acerca al límite derecho de la escala, como en \(f(x)=5 x+1\), en la última figura.

Y ser decreciente significa que la función se aproxima cada vez más al mínimo del gráfico conforme \(x\) se aproxima al límite derecho de la escala, como en \(f(x)=1-2 x\):

Para representar esa idea algebraicamente, basta acrecentar un término positivo \(\Delta x\) en el argumento de la función. Si:

\[f(x+\Delta x)>f(x)\] 

Entonces la función es creciente. Ya que, añadiendo un pequeño valor a \(x\), la función se hace mayor en relación a su valor sin el incremento. Y si:

\[f(x+\Delta x)<f(x)\]

La función es análogamente decreciente.

Cabe resaltar que una función negativo puede ser creciente. 

Estudio de signos en el gráfico de la función

Podemos saber si una función es positiva o negativa a partir de su gráfico.

Cuando la curva se encuentra por debajo del eje \(x\), la función será negativa, de lo contrario, será positiva:

El punto intermedio donde la función toca el eje \(x\), será justamente la región donde ésta cruza el cero y, por tanto, su raíz. 

¡BIEN! Recuerda practicar.