Función Logarítmica

El logaritmo

El logaritmo está asociado al exponente. Entonces, hablemos un poco sobre la función exponencial, por ejemplo:

\[10^{2}=100\]

En este caso, tenemos una base \(10\) elevada al cuadrado, es decir, su exponente es \(2\). El resultado es \(100\).

Cambiando un poco la pregunta. ¿Cuántas veces es elevado el número \(10\) para que sea \(100\)? Para responder esto, usamos la función logarítmica. De esta forma, tendremos:

\[\log _{10} 100\]

Y calculando eso llegaremos a

\[\log _{10} 100=2\]

Recuerda que logaritmo = EXPONENTE.

La función logarítmica

Entonces la pregunta que siempre haremos será:

“¿La base \(b\) elevada a cuál número tiene como resultado \(x\)?”

La función logarítmica es precisamente la generalización de la pregunta anterior. La función logarítmica tiene como fórmula general:

\[f(x)=\log _{b} x\]

Donde \(b\) es la base, \(x\) es el argumento y el resultado es el logaritmo, este equivale al exponente en una función exponencial.  

Gráfico de la función logarítmica

El gráfico de la función logarítmica es igual al gráfico de la función exponencial pero al revés. Observa el siguiente gráfico de \(f(x)=\log x\):

Analizando de derecha a izquierda, vemos que el gráfico se aproxima negativamente al eje \(y\) para los valores próximos a \(x=0\), pero nunca lo toca (al contrario de lo que puede parecer en la figura).

La curva también toca el eje \(x\) exactamente en el punto \(x=1\), una vez que: 

¿Qué exponente lleva a cualquier número a tener como resultado \(x=1\)? El número cero (0)

\[b^{0}=1\]

Para cualquier \(b\).

A partir de ese punto, la función crece indefinidamente. 

Dominio e Imagen

¿Notaste que en el gráfico no apareció ningún valor negativo de \(x\)? Esto porque, según las propiedades de la potenciación, no se puede elevar un número a \(x\) valor y obtener un resultado negativo. Por tanto, el dominio de la función logarítmica está restringido a valores positivo dentro del  \(\log\). 

Es decir, para \(f(x)=\log x\), tenemos que todos los resultados son valores reales positivos.

Y para \(f(x)=\log (2 x-1)\), nuevamente necesitamos que los valores dentro del  \(\log\) sean positivos, por lo tanto:

\[2 x-1>0 \Longrightarrow x>\frac{1}{2}\]

\[f(x)=\{x \in R \mid x>1 / 2\}\]

Hallando \(x\) en la función

Imagina que tenemos la función \(f(x)=\log _{2} 2 x\)

Y queremos saber el valor de \(x\) para el cual \(f(x)=16\).

\[\log _{2} 2 x=16\]

Entonces la pregunta que haríamos es: “La base \(b\) elevada a cuál número tiene como resultado \(x\)?”

El problema nos está diciendo que “la base \(2\) elevada a \(16\) es igual al resultado \(2x\)”, o sea

\[2^{16}=2 x\]

Despejando \(x\), nos quedamos con

\[x=\frac{2^{16}}{2}\]

Recordando que en división de exponenciales de igual base, repetimos la base y restamos los exponentes. 

\[x=\frac{2^{16}}{2}=2^{(16-1)}=2^{15}\]

El logaritmo natural

El logaritmo natural es aquel de base \(e\), que es el número de Euler. Lo que necesitas saber es que de ahora en adelante, este recibe la notación de \(\text {ln}\), pudiendo ser por ejemplo:

\[f(x)=\ln 2 x\]

\[g(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)\]

\[h(x)=\ln (58 x+1)\]

Entre otras muchas posibilidades.

Por tanto, cuando veas un \(\text {ln}\) por ahí, recuerda que se trata de una función logarítmica.