Funciones Trigonométricas - Parte 2
En la primera parte hablamos sobre las principales funciones trigonométricas: Seno y Coseno.
A continuación veremos las funciones que utilizan ambas, funciones que dependen de ellas. En la práctica, usaremos muchas de las cosas que entendemos, por tanto, tendremos cambios principalmente en la parte gráfica.
La primera que veremos es la función tangente
Función Tangente
La función tangente viene dada por
\[f(x)=\tan (x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}\]
En este caso, el grado de dificultad aumenta un poco. Para hallar el dominio de esa función tenemos que ver los puntos problemáticos, esto es, los puntos en que el denominador es cero.
Porque NO existe división por cero
El denominador de la función es cero cuando \(\cos (x)\) es cero, esto ocurre cuando:
\[x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2} \ldots\]
Generalizando, podemos decir que ocurre cuando:
\[x=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\]
Por tanto, el dominio de la función tangente es:
\[D(f)=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, \operatorname{con} k \in \mathbb{Z}\right\}\]
En cuanto a la imagen, nada limita esa tangente, por tanto, la imagen siempre es el conjunto de los números reales:
\[I m=\mathbb{R}\]
Por ejemplo, si queremos la imagen de la función:
\[f(x)=\operatorname{tg}(5 x)\]
También será igual al conjunto de los números reales, así como si multiplicaramos o sumaramos a la función un determinado valor.
Como hemos visto anteriormente, existen algunos valores para los cuales la función no estará definida, esto implicará en cómo se formará el gráfico. Nuevamente, usamos la tabla tiene los valores notables.
Observa que para aquellos valores que mostramos antes la función no existe, a medida que vamos aproximándonos hacia este, el mismo tiende al infinito.
Por ejemplo, si ponemos en la calculadora la tangente de \(89,9^{\circ}\) encontraremos
\[\operatorname{tg}\left(89,9^{\circ}\right) \cong 572,95\]
Mientras que
\[\operatorname{tg}\left(89,999^{\circ}\right) \cong 57295,77\]
Y a medida que nos aproximamos a \(90^{\circ}\left(\frac{\pi}{2} \mathrm{rad}\right)\) tendremos valores cada vez más altos, esto se verá reflejado en el gráfico. De esta forma:
Esas líneas en el gráfico son llamadas asíntotas verticales. Su nombre indica que la distancia entre ellas tiende a ser cero, a medida que se extiende indefinidamente.
Ten en cuenta que, a diferencia del seno y coseno, el período será igual a \(\pi\).
Eso significa que si quisiéramos determinar el período de la función.
\[g(x)=\operatorname{tg}(5 x)\]
Tendremos
\[5 T=\pi \rightarrow T=\frac{\pi}{5}\]
Asimismo, es simétrico en relación al orígen, por lo tanto, la función es impar y:
\[\operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}(x)\]
Función Cotangente
La función cotangente es la inversa de la función tangente, por lo que podemos escribirla como
\[f(x)=\operatorname{cotg}(x)=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)}\]
Además, como la tangente es dada por
\[\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)}\]
La cotangente será la inversa, es decir
\[\cot g(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\]
Para encontrar el dominio de esta función tenemos que ver los puntos en que el denominador es cero.
Ya que NO existe división por cero.
El denominador de la función es cero cuando \(\operatorname{sen}(x)\) es cero, esto ocurre cuando:
\[x=0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \ldots\]
De forma general, ocurre cuando:
\[x=k \pi, k \in \mathbb{Z}\]
Por tanto, el dominio de la función cotangente es:
\[D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi, \operatorname{con} k \in \mathbb{Z}\}\]
En cuanto a su imagen, como nada limita la tangente, siempre será el conjunto de los números reales:
\[I m=\mathbb{R}\]
El gráfico de esta función es bastante similar al de la función tangente, pero su dominio será distinto.
El período será igual a \(\pi\), como en la función tangente.
Observa el parecido en el gráfico
Solo que en este caso la curva va hacia el otro lado, y las asíntotas están en posiciones diferentes a las del gráfico de la función tangente.
Función Secante y Cosecante
La función secante viene dada por
\[f(x)=\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}\]
Como a \(\cos (x)\) tenemos a en el denominador, el dominio de la función secante es el mismo que el de la función tangente, es decir
\[D(f(x))=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, \operatorname{con} k \in \mathbb{Z}\right\}\]
Para su imagen, tenemos coseno en el denominador y \(1\) en el numerador. Considerando los valores positivos del coseno, tenemos:
\[f(x)=\frac{1}{g(x)}\]
Donde \(0<g(x) \leq 1\).
Si dividimos \(1\) por un número entre \(0\) y \(1\) siempre obtendremos un valor mayor que \(1\). Por ejemplo:
\[\frac{1}{0,5}=2\]
De manera análoga, considerando la parte negativa del coseno, tenemos:
\[f(x)=\frac{1}{h(x)}\]
Donde \(-1 \leq h(x)<0\).
Si dividimos \(1\) por un número entre \(-1\) y \(0\) siempre obtendremos un valor menor que \(-1\). Por ejemplo:
\[\frac{1}{-0,5}=-2\]
Por tanto, la imagen de la función siempre estará fuera del intervalo (-1,1):
\[\operatorname{Im}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y \in]-1,[\}1\]
No se trata de un error, el corchete al revés indica valores fuera del intervalo.
Tanto la secante como la cosecante tendrá un período de \(2 \pi\). Su gráfico será:
Simétrica en relación al eje \(y\), por tanto, par:
\[\sec (x)=\sec (-x)\]
Y la cosecante viene dada por:
\[f(x)=\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}\]
La cosecante tiene un gran parecido con la secante. Solo tendremos algunas diferencias.
En este caso, como el seno está en el denominador, necesitamos sacar del dominio los valores en que este es igual a cero. Eso sucede, cuando:
\[\operatorname {sen} 0=\operatorname{sen} \pi=\operatorname{sen} 2 \pi=0\]
Generalizando para todos los reales, el dominio será
\[D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq k \pi, \text { con } k \in \mathbb{Z}\}\]
El gráfico es bastante parecido, pero con la diferencia que la cosecante tiene valor \(y=1\) para \(x=\frac{\pi}{2}\).
Solo por fines comparativos, observa el parecido que existe entre ellas. La secante es la línea azul
Además, la función cosecante es impar, porque es simétrica en relación al origen, por tanto:
\[\operatorname{cossec}(-x)=-\operatorname{cossec}(x)\]
¿Entendido?
#ALosEjercicios
Hay un error?
Ir al Siguiente Capitulo: Función Modular
Todos los Resúmenes
